BLOQUE 8

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

8.1 SISTEMA TRIDIMENSIONAL

Un objeto es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. El sistema tridimensional mas usado en física (clásica) es el espacio: una dimension para el ancho, otra para la altura y otro para la profundidad. Para representarlo basta con el grafico de ejes cartesianos X,Y,Z. En las imágenes se puede observar el grafico con el que se representan los sistemas tridimensionales.

Para localizar un punto en el espacio, se requieren tres números. Se representa cualquier punto en el espacio mediante una tercia ordenada  (a,b,c) de números reales. A fin de representar puntos en el espacio, se elige primero un punto fijo, el origen 0, y tres líneas dirigidas a 0 que son perpendiculares entre sí, llamados ejes coordenados y marcados como eje  x, eje  y y eje  z. Por lo común se considera que los ejes  x y  y son horizontales, y que el eje  z es vertical. La dirección del eje  z se determina mediante la regla de la mano derecha.

Los tes ejes coordenados determinan los tres planos coordenados, el plano  xy es el plano que contiene los ejes  x y  y; el plano  yz contiene los ejes  y y  z; el plano  xz contiene los ejes  x y  z. Estos tres planos coordenados dividen el espacio en ocho partes, llamados octantes. El primer octante, en primer plano, se determina mediante los ejes positivos.

Interpretación geométrica de ecuaciones y

A) z >= 0 El semiespacio que a los puntos que están sobre y arriba del plano xy

B)x = -3 El plano perpendicular al x en x = -3 Este plano es paralelo al plano yz y esta unidades atrás de el.

C) z= 0, x<= 0, y>= 0 El primer cuadrante del xy

D) x >= 0, y >= 0, z >= 0 El primer octante.

E) -1 <= y <= 1 El bloque entre los planos y -1 y y=1 (incluyendo estos planos)

F) y=-2, z=2 la recta donde los planos y=-2 y z=2 O bien, la recta al eje x que pasa por el punto (0, -2,2).

EJEMPLOS 

1. Calcular el módulo del vector resultante del siguiente vector

2. Calcular el módulo del vector resultante del siguiente vector

3. Calcular el módulo del vector resultante del siguiente vector

 4. Calcular el módulo del vector resultante del siguiente vector

5. Calcular el módulo del vector resultante del siguiente vector

8.1 Poliedros

Un poliedro es un sólido de caras planas (la palabra viene del griego, poli- significa "muchas" y -edro significa "cara").

Cada cara plana (simplemente "cara") es un polígono.

Así que para ser un poliedro no tiene que haber ninguna superficie curva.

Elementos de un poliedro

Caras

Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas

Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices

Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.

Ángulos diedros

Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos

Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales

Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Relación de Euler

En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:

Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.

Contar caras, vértices y aristas

Si cuentas el número de caras (las superficies planas), los vértices (las esquinas) y las aristas de un poliedro, descubrirás algo interesante:

El número de caras más el número de vértices menos el número de aristas es igual a 2

Esto se puede escribir limpiamente con una ecuación:

F + V - E = 2

Se la llama "fórmula del poliedro" o "fórmula de Euler", ¡y viene bien para saber si has contado correctamente!

EJEMPLOS

1. Hallar la diagonal de un cubo de 3 cm de arista

2.  Calcula el área y el volumen de un cubo de arista 2 m.

3. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un cubo de 7 m de arista.

4. Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 m de arista

Un dodecaedro tiene 12 caras de pentágono

5. Haz el dibujo y calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista.

Un icosaedro tiene 20 caras de triángulo equilátero

BLOQUE 10

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

10.1 PUNTOS Y RECTAS 

Puntos 

 Los puntos no tienen dimensiones.

 Por tanto carecen de longitud, anchura y altura.

 Un punto indica una posición. en el plano o en el espacio.

 Los puntos se nombran con letras mayúsculas.

Estudio de los puntos

1. Existen infinitos elementos llamados puntos.

2. Una recta comprende infinitos puntos.

3. Entre dos puntos de una recta hay infinitos puntos.

4. Por un punto del plano pasan infinitas rectas.

5. Dos puntos determinan una recta.

6. Tres puntos no situados en una recta determinan un plano.

 Rectas

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.

Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

Clases de recta

Secantes
Las rectas secantes se cortan en un punto.

Paralelas

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

 EJEMPLOS

 1. Halla los puntos de corte de los ejes coordenados de la recta:

Por lo tanto, los puntos de corte con los ejes coordenados son   (0, 4)   y   (-4, 0)

2. Calcula la distancia del punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x + 4 y = 0.

3. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0 y pasa por el punto P(−3, 2).

4. Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = −2.

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, −5).

10.2 CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistande un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio.

Ecuación de la circunferencia con centro    C(a, b)   y radio   R .

Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia es:

Es una ecuación de dos variables   x   e   y   tal que los coeficientes de   x2   y de   y2   son iguales, y no tiene término en   xy .

El centro y el radio se pueden calcular de la siguiente manera:

Para que una expresión del tipo: 

 sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.
2. No tenga término en xy.
3. 
   

EJEMPLOS

1. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica don la ecuación x² + y² + 2x - 2y - 23 = 0 y que pasa por el punto ( 1 , 1 ).

2. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por centro ( 5 , 2 ) y es tangente a la recta  3x + 2y - 6 = 0.

3. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

4. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0, hallar el centro y el radio.

5. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

10.3 PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Excentricidad de una parábola

Se llama excentricidad de una parábola al cociente entre la distancia de un punto p de la misma; a la directriz y al foco, es decir,   e = 1

Ecuación reducida de la parábola

EJEMPLOS

1. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

2. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

3. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

4. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

5.  Hallar la ecuación de las siguiente parábola:

Foco   (2, 3)   y directriz   x = 0

10.4 ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos   F   y   F'   , llamados focos, es constante.

Ecuación reducida de la elipse

Por Pitágoras:

Excentricidad de la elipse

Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

Ecuación reducida de la elipse

Elipse con los focos en el eje de abscisas:                                     Elipse con los focos en el eje de ordenada:

EJEMPLOS

1. Halla la ecuación en forma reducida de la elipse determinada de la siguiente manera:

Sus focos son   F'(-3, 0) y F(3, 0)   y dos de sus vértices son   (-4, 0) y (4, 0)

2. Halla la ecuación en forma reducida de la elipse determinada de la siguiente manera:

Pasa por los puntos   (3, 0) y (2, 1/5)

3. Halla las ecuación en forma reducida de las elipse determinada de la siguiente manera:

F'(-4, 0) y F(4, 0)   y longitud del eje menor 6

4. Halla las ecuación en forma reducida de las elipse determinada de la siguiente manera:

F'(0, -2) y F(0, 2)   y cuya excentricidad es igual a 0,4

5. Halla las ecuación en forma reducida de las elipse determinada de la siguiente manera:

El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)