BLOQUE 10

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

10.1 PUNTOS Y RECTAS 

Puntos 

 Los puntos no tienen dimensiones.

 Por tanto carecen de longitud, anchura y altura.

 Un punto indica una posición. en el plano o en el espacio.

 Los puntos se nombran con letras mayúsculas.

Estudio de los puntos

1. Existen infinitos elementos llamados puntos.

2. Una recta comprende infinitos puntos.

3. Entre dos puntos de una recta hay infinitos puntos.

4. Por un punto del plano pasan infinitas rectas.

5. Dos puntos determinan una recta.

6. Tres puntos no situados en una recta determinan un plano.

 Rectas

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.

Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

Clases de recta

Secantes
Las rectas secantes se cortan en un punto.

Paralelas

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

 EJEMPLOS

 1. Halla los puntos de corte de los ejes coordenados de la recta:

Por lo tanto, los puntos de corte con los ejes coordenados son   (0, 4)   y   (-4, 0)

2. Calcula la distancia del punto P(2, −1) a la recta r de ecuación 3x + 4 y = 0.

3. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r ≡ 8x − y − 1 = 0 y pasa por el punto P(−3, 2).

4. Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1, 5) y tiene como pendiente m = −2.

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(2, −5).

10.2 CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistande un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia se llama radio.

Ecuación de la circunferencia con centro    C(a, b)   y radio   R .

Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia es:

Es una ecuación de dos variables   x   e   y   tal que los coeficientes de   x2   y de   y2   son iguales, y no tiene término en   xy .

El centro y el radio se pueden calcular de la siguiente manera:

Para que una expresión del tipo: 

 sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.
2. No tenga término en xy.
3. 
   

EJEMPLOS

1. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica don la ecuación x² + y² + 2x - 2y - 23 = 0 y que pasa por el punto ( 1 , 1 ).

2. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por centro ( 5 , 2 ) y es tangente a la recta  3x + 2y - 6 = 0.

3. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

4. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0, hallar el centro y el radio.

5. Determina las coordenadas del centro y del radio de las circunferencias:

10.3 PARÁBOLA

Una parábola es el lugar geométrico del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Excentricidad de una parábola

Se llama excentricidad de una parábola al cociente entre la distancia de un punto p de la misma; a la directriz y al foco, es decir,   e = 1

Ecuación reducida de la parábola

EJEMPLOS

1. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

2. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

3. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

4. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la siguiente parábola:

5.  Hallar la ecuación de las siguiente parábola:

Foco   (2, 3)   y directriz   x = 0

10.4 ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos   F   y   F'   , llamados focos, es constante.

Ecuación reducida de la elipse

Por Pitágoras:

Excentricidad de la elipse

Se llama excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

Ecuación reducida de la elipse

Elipse con los focos en el eje de abscisas:                                     Elipse con los focos en el eje de ordenada:

EJEMPLOS

1. Halla la ecuación en forma reducida de la elipse determinada de la siguiente manera:

Sus focos son   F'(-3, 0) y F(3, 0)   y dos de sus vértices son   (-4, 0) y (4, 0)

2. Halla la ecuación en forma reducida de la elipse determinada de la siguiente manera:

Pasa por los puntos   (3, 0) y (2, 1/5)

3. Halla las ecuación en forma reducida de las elipse determinada de la siguiente manera:

F'(-4, 0) y F(4, 0)   y longitud del eje menor 6

4. Halla las ecuación en forma reducida de las elipse determinada de la siguiente manera:

F'(0, -2) y F(0, 2)   y cuya excentricidad es igual a 0,4

5. Halla las ecuación en forma reducida de las elipse determinada de la siguiente manera:

El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)