BLOQUE 1

  LÓGICA MATEMÁTICA

1.1 PROPOSICIONES

Una proposición debe tener la cualidad de ser verdadera o falsa y una oración o concepto que no tiene uno u otro sentido no puede ser considerado como proposición lógica; es así que la lógica proporcional en su concepto previo solo puede tener tres elementos:

Proposición

Valor verdadero o

Valor falso

EJEMPLOS

Determine cuales de las siguientes oraciones son proposiciones:

1. En 1990, George Bush era presidente de los Estados Unidos

R: Puesto que se trata de un enunciado declarativo, es sin duda una proposición

2. x + 3 es un entero positivo

R: Puesto que el enunciado es verdadero o falso, seg´un los valores que toma x, no es una proposición

3. ¡Si todas las mañanas fuesen tan soleadas como esta!

R: Dado que se trata de una oración que expresa un deseo y no es un enunciado declarativo, no es una proposición

4. Quince es un numero par

R: La oración es claramente una proposición falsa

5.  Si Carlos suspende esta asignatura, su padre se enfadara

R: Esta claro que es un argumento verdadero o falso (aunque no lo sepamos)

1.2 OPERADORES LÓGICOS

NEGACIÓN

Es un operador que se ejecuta sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada. Nos dice que sea p una proposición, la negación de p se representa por ¬p. Se lee: "ni p". Solo hay dos posibilidades y no cuatro como en los casos anteriores. Se puede negar usando "no", "es falso", "no es cierto que", "no es verdad que".

 

CONJUNCIÓN 

La conjunción es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier caso, es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas, en caso contrario es falsa. Así:

DISYUNCIÓN

Es un operador que ejecuta sobre dos valores de verdad, devolviendo el valor de verdadVerdadero cuando una de las proporciones es verdadera o cuando ambas lo son y falsocuando ambas son falsas. p ˅ q (se lee: p o q). si ambas proporciones son falsas, la proporción compuesta es falsa. 

CONJUNCIÓN NEGATIVA Es la unión de dos o más proporciones por NO. Sean p y q proposiciones, la conjunción negativa entre p y q se representa por p ↓ q a lo cual se lee: ni y ni. si las dos proporciones son falsas dichas proposición compuesta es verdadera, en caso contrario es falsa.

 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Consiste en que al menos una de las opciones es verdadera, pero sólo una. Sea p yq proporciones la disyunción exclusiva entre p y q. Se lee: "o p o q". 

CONDICIONAL

La condición de dos proporciones p y q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por: p → q. Se lee: "p implica q", "si p entonces q", "p solamente si q", "p solo sí q". El condicional de dos proposiciones es falso si es verdadera, es falsa porque una verdad no puede implicar una falsedad:  

BICONDICIONAL

El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, e representa por p ↔ q. Se lee: p si y solo si q, p si y solamente si q. El bicondicional de dos proposiciones es verdadero si las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas

EJEMPLOS

Expresa cada una de las siguientes proposiciones como una frase: 

• ¬p 

No hace frío 

• p ∧ q 

Hace frío y llueve 

• p ∨ q 

Hace frío o llueve 

• q ∨ ¬p 

Llueve o no hace frío

• ¬p ∧ ¬q 

No hace frío y no llueve 

1.3 CLASES DE PROPOSICIONES 

Proposiciones simples: También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

EJEMPLOS 

1. El 9 y el 27 son factores del 81.
2. Esa caja es de madera.
3. Nada es para siempre.
4. La música clásica es la más antigua del mundo.
5. Los números pares son divisibles por dos.

Proposiciones compuestas: También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o mas proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.

EJEMPLOS

1. Puedo manejar un auto si tiene dirección hidráulica.
2. Gabriel García Márquez fue un gran escritor y bailarín.
3. Las células son procariotas o eucariotas.
4. La raíz cuadrada de 25 es 5, o -5.
5. No todos los números primos son impares.

1.4 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos los siguiente:

1)  Idempotencia 

p˄p ≡ p

p˅p ≡p

2)  Asociatividad 

(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)

(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3)  Conmutatividad 

p˄q ≡ q˄p 

p˅q ≡ q˅p

4)  Distributividad 

p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r) 

p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5)  Identidad 

p˄(F) ≡ (F)

p˅(F) ≡ p

p˄(V) ≡ p

p˅(V) ≡ (V)

6)  Complemento 

p˄(~p) ≡ (F)

p˅(~p) ≡ (V)

~(~p) ≡ p

~(V) ≡ (F)

~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes 

(p → q) ≡ (~p ˅ q)

(p → q) ≡ (~q → ~p)

(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)

(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan

~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)

~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)

~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)

~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)

Con la ayuda de estas propiedades podemos simplificar proposiciones compuestas o hallar su valor de verdad

1.5 RAZONAMIENTO

Un razonamiento es una serie de enunciados en la cual, a partir de unos enunciados iniciales (premisas) y siguiendo unas reglas determinadas, se infiere una conclusión.
Por ejemplo:
En el mes de enero cada día anochece un poco más tarde.
Estamos en el mes de enero.
Por lo tanto, mañana anochecerá un poco más tarde que hoy. 

Así pues, razonamiento es un proceso mental que se caracteriza porque en él se produce el paso de uno o más enunciados (las denominadas premisas) a otro posterior (lo que denominamos conclusión) que se deriva necesariamente de aquellos.

Denominamos premisas de nuestro razonamiento a cada uno de los enunciados que utilizamos para defender la idea o enunciado que queremos demostrar. 
Denominamos la conclusión de nuestro razonamiento al enunciado que intentamos demostrar o defender y para el que hemos construido nuestro razonamiento. 
Se dice que el razonamiento es válido si la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. En ese caso, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también será necesariamente verdadera. Un razonamiento, por tanto, es o no válido en virtud de su forma o estructura, no en virtud de la verdad o falsedad de las premisas. Los enunciados pueden ser verdaderos o falsos, pero los razonamientos sólo pueden ser válidos o no válidos, correctos o incorrectos.

EJEMPLOS

1. Veamos tal diferencia con un ejemplo.
Partamos de dos razonamientos simples: 

P1: Si tienes la gripe entonces tienes fiebre. 
   A                                                    B 

P2: No tienes fiebre.  
                B 

C: Por lo tanto, no tienes la gripe. 
                            A 

2. P1: Si crece la inversión entonces disminuye el paro. 
                      A                                          B 

P2: No disminuye el paro. 
                    B 
C: Por lo tanto, no crece la inversión. 
                                         A
3. Observamos que: Tienen distinto contenido: 
R1 : medicina. 
R2 : economía.

1.6 DEMOSTRACIONES

En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se construye su demostración formal,aunque la proposición sea válida para un número finito de casos no significa quesea válida para todo el universo, por ejemplo la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos) se ha verificado utilizando computadoras para millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera.

1. Veamos el siguiente razonamiento:Si x=y entonces:  
2. 3x=3y2y=2xluego:3x+2y=3y+2x3x-3y=2x-2y3(x-y)=2(x-y)3=2¿qué paso?
3. Aquí consideraremos los siguientes métodos de demostración:
4. • Método directo. 
5. • Reducción al absurdo. 
6. • Contrarrecíproco. 
7. • Bicondicionales (doble implicación). Equivalencias múltiples. 
8. • Método de inducción. 
9. • Contraejemplos. 

Método directo 

En los libros de texto se suele leer: 

“Si A, entonces B” 

“Para que se cumpla B es suficiente que se cumpla A” 

“B es una condición necesaria para que se cumpla A” 

Se trata de de demostrar que si se cumple la propiedad A, entonces se verifica B.

Reducción al absurdo 

Para probar que una propiedad A es verdadera, se supone que A es falsa y se llega a una contradicción. Evidentemente, empleamos el hecho de que una proposición en Matemáticas ó es verdadera ó es falsa, pero no ambas cosas a la vez. Hay que decir que este recurso era muy querido por los matemáticos griegos. Hay quienes opinan que es preferible dar, si es posible, demostraciones directas, para de esa forma no confundir al alumno con tantas suposiciones que lleguen a crearle una sensación de falta de control en el razonamiento, al no poder saber en cada momento qué es cierto o qué es falso. 

Contrarrecíproco 

Este mecanismo de demostración se basa en el hecho de que la implicación A B es equivalentemente lógica a NO B NO A. Este mecanismo es aconsejable cuando no sabemos cómo trabajar a partir de la hipótesis A y, en cambio, la negación de B proporciona un buen punto de partida. No se debe confundir el contrarrecíproco con el mecanismo de reducción al absurdo. 

Doble implicación 

El recíproco de la implicación A → B es B → A. Obviamente si se cumple una implicación no tiene por qué cumplirse necesariamente la otra. 

Por ejemplo, si A representa a la propiedad de que un número natural es múltiplo de 6 y B a la de ser múltiplo de 3, tenemos que A → B pero su recíproco es cierto (¿sabría demostrarlo?). 

Cuando se tiene que tanto la implicación A → B como su recíproco B → A son ciertas, decimos que A B NO B NO A las condiciones A y B son equivalentes y empleamos el signo de la doble implicación. En los textos aparece desarrollada esta doble implicación en sentencias del tipo: 

“Probar que A y B son equivalentes” 

“Probar que se cumple A si, y sólo si, se cumple B” 

“Una condición necesaria y suficiente para que se dé A es que se verifique B” 

Método de inducción 

Sea P(n) una propiedad relacionada con el número natural n. – Se demuestra que P(1) es cierta. – Se prueba que si P(k) es cierta, entonces P(k+1) también lo es. En ese caso, la propiedad P(n) es válida para cualquier n Є N. 

Contraejemplos 

A veces, la validez de una propiedad se refuta dando un ejemplo en el que no se cumple dicha propiedad: habremos probado entonces que,en general, la propiedad en cuestión es falsa. A dichos ejemplos que echan abajo la validez de la propiedad se les conoce con el nombre de contrajemplos. En muchas ocasiones, cuando nos enfrentamos a resolver un problema y vemos que la propiedad que queremos demostrar no tiene un ataque sencillo, nos podemos plantear la posibilidad de encontrar un contrajemplo. 

EJEMPLOS

1. Probar por inducción que la suma de los n primeros enteros positivos es igual a n(n+1)/2: 1 + 2 + 3 + … + n =n(n+1)/2 

En este caso, P(n)=la suma de los n primeros enteros positivos es n(n+1)/2 

La propiedad es cierta para n=1: P(1)=1=1(2)/2=1 

Es conveniente ver que también es cierta para algunos valores más P(2)=1+2=3=2(3)/2; P(3)=1+2+3=6=3(4)/2. 

La dificultad del método de inducción está en probar el paso general, esto es, demostrar que si suponemos que la propiedad es cierta para k, también lo es para k+1. 

Se supone que P(k)=k(k+1)/2 y queremos probar que la fórmula sigue siendo válida también para k+1, es decir, que P(k+1)=(k+1)(k+2)/2. 

Vamos allá. P(k+1)=1 + 2 + … + k + (k+1)= P(k) + (k+1) = aplicamos la hipótesis de inducción =k(k+1)/2 +(k+1)=(k+1)[k/2+1]=(k+1)(k+2)/2, como queríamos probar.