CONJUNTOS
2.1 DEFINICIÓN TIPOS Y CARDINALIDAD
DEFINICIÓN
DEFINICIÓN
El término conjunto proviene del latín conjunctus, que hace referencia a algo que está incorporado, unido o contiguo a otra cosa.
Un conjunto es una colección o agrupación de objetos o elementos que responden a una misma categoría o grupo.
Un conjunto es una colección o agrupación de objetos o elementos que responden a una misma categoría o grupo.
Los conjuntos siempre se representan por una letra en mayúscula y sus elementos se llegan a colocar dentro de llaves separados uno a los otros por comas. Los conjuntos se pueden determinar por extensión o por compresión.
TIPOS
Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.
Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.
Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.
Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.
Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A está compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.
Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.
Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.
Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.
Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.
Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.
Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.
Conjunto de las partes de un conjunto: Representan los conjuntos que están conformados por todos los subconjuntos de un conjunto dado.
CARDINALIDAD
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto.
Existe un símbolo para referirnos a la Cardinalidad; tú lo has visto y es #.
Entonces
# P = 12
# S = 0
Luego: el Cardinal de un conjunto nos indica La cantidad de elementos que él tiene.
1) Un conjunto A formado por 3 elementos, es decir # A = 3 A = {b, e, s}
2) Un conjunto C, tal que # C = 0 C = {nombrar el 8º día de la semana}
3) Un conjunto D tal que # D = 1 D = {a} 5) Observa: # B = 5 # C = 0
Cuando el Cardinal de un conjunto es 0 (cero) nos indica que NO tiene elementos y se llama Conjunto Vacío y el símbolo con el que lo identificaremos será Φ.
Entonces: Si # C = 0 ⇒ C = Φ C es conjunto vacío
EJEMPLOS
1. Conjunto formado por las letras del abecedario minúsculas:
A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
El mismo se puede dividir en un conjunto V que representaría las vocales, y otro con C para agrupar a las consonantes.
2. Conjunto de los días de la semana que terminan en “a”.
3. Conjunto de los meses del año que tiene menos de treinta días. (Solamente febrero pertenece a dicho conjunto).
4. Conjunto de las páginas de un libro:
P = { páginas de un libro }.
5. Conjunto del número de bacterias en un país:
B = { Conjunto del número de bacterias en un país }.
2.2 CUANTIFICADORES
Cuantificadores
Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:
Cuantificador universal (∀)
Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada, se llama cuantificador universal y se simboliza por “∀”.
Ejemplo:
(∀x =1) / (x + 4 = 4 + x) significa que todo "x" verifica la ecuación
Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “ para todo x =1 se verifica
que x + 4 = 4 + x".
Cuantificador existencial (Ǝ)
Los cuantificadores de la forma existe por lo menos uno, se llaman cuantificadores existenciales y se representan así: “Ǝ”.
Ejemplo:
(Ǝx = 1) / (2x + 3 = 5) significa que para x = 1 verifica la ecuación
Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “existe por lo menos uno x =1 se verifica que 2x + 3 = 5".
EJEMPLOS
Ejercicios de cuantificadores
1. “todas las hormigas son insectos"
Para toda x, si x es hormiga entonces x es insecto que se puede simbolizar de la manera siguiente:
(∀x) (Hx → Ix)
Donde Hx simboliza la expresión: " x es hormiga", e Ix simboliza la expresión "x es insecto".
2. "hay animales carnívoros"
Se observa que se puede escribir como:
"existe al menos un x, tal que x es animal y x es carnívoro “que se puede simbolizar como:
(∃x) (Ax ∧ Cx).
3. EXPRESAR “TODOS LOS GATOS TIENEN COLA” EN CALCULO DE PREDICADOS
Hallar primero el ámbito del cuantificador universal, que es “Si x es un gato, entonces x tiene cola” y se define como:
Gx ↔ x es un gato Cx ↔ x tiene cola
∴ (∀x) Gx → Cx
4. (∀x =1) / ( x + 4 = 4 + x ) significa que todo "x" verifica la ecuación
Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “ para todo x =1 se verifica
que x + 4 = 4 + x".
5. (Ǝx = 1) / ( 2x + 3 = 5 ) significa que para x = 1 verifica la ecuación
Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “existe por lo menos uno x =1 se verifica que 2x + 3 = 5".
2.3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Unión de conjuntos
Supongamos que tenemos los conjuntos MM y NN definidos como se muestra en la siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a MM o a NN. A este nuevo conjunto le llamamos unión de MM y NN, y lo notamos de la siguiente manera: M∪NM∪N. En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos MM y NN.
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos MM y NN, debes preguntarte cuáles están en el conjunto MM “o” en el conjunto NN. El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal UU, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.
Intersección de conjuntos
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos MM y NN definidos anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos MM y NN tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de MM y NN y lo notamos de la siguiente manera: M∩NM∩N.
Para determinar qué elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos MM y NN te puedes preguntar qué elementos están en MM “y” en NN. Todos los elementos del conjunto UU que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M∩NM∩N. En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos MM y NN, tenemos que M∩N= {b} M∩N= {b}.
Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos.
En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación MM menos NN, debes seleccionar los elementos de MM que no están en NN. Representamos la diferencia M menos N así: M \ NM \ N. Observa que en este caso M \ N= {a, c} M \ N={a,c}.
En esta ocasión se deben escoger los elementos de MM que no están en NN, y los elementos de NN que no están en MM. Puedes ver el resultado de la diferencia simétrica entre MM y NN en la figura de la izquierda. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo ΔΔ. En el caso de nuestros conjuntos MM y NN tenemos: M Δ N={a,c,g,1,e}M Δ N={a,c,g,1,e}.
La última operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el complemento de MM es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal UU, que no pertenecen al conjunto MM. Es común usar los símbolos McMc, ¯¯¯¯MM¯ o M'M′ para representar el complemento del conjunto MM, nosotros usaremos el símbolo McMc. En nuestro caso tenemos Mc={j,f,g,1,e,i,h}Mc={j,f,g,1,e,i,h} y Nc={i,h,j,f,a,c}Nc={i,h,j,f,a,c}.
EJEMPLOS
1. Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}
Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B
Solución:
A U B = {1,2,3,4,6,8}
A U C = {1,2,3,4,5,6}
B U C = {2,4,6,3,5}
B U B = {2,4,6,8}
2. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C
Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C
Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B
3. Si tenemos los conjuntos y , entonces el complemento de es el conjunto
4. Dados los conjuntos, la intersección y grafica:
A = {c; r; i; s; t; o } y B = { a; m; i; g; o }
A ∩ B ={ i; o }
A ∩B : Se lee : "A intersección B"
5.Sean los conjuntos, halla A ∩ B y su representación grafica.
A = { 4; 5; 6; 7; 8 } y B = { 4; 6; 8 }
A ∩ B = { 4; 6; 8 }
2.4 PROPIEDADES DE OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Propiedad de la unión de conjunto
La unión de conjunto cumple la siguiente propiedad.
Si
Propiedades de la intersección de conjuntos
La intersección de conjuntos cumple con las siguientes propiedades
Si
Propiedades del complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto cumple las siguientes propiedades
Propiedades Combinadas
Se cumplen las siguientes propiedades entre conjuntos
Leyes de distribución
Leyes de De Morgan
EJEMPLOS
2.5 RELACIONES
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio , con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación , pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dominio y rango de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes ; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes , esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango .
Representación gráfica de las relaciones
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano .
EJEMPLOS
1. Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {( x , y ) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {( x , y ) / x < y }
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {( x , y ) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
2. Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados ( x , y ) que satisfagan la relación
R = {( x , y ) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
R = {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C , el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
3. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “ y es el doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Si A = {1, 2} y B = {1, 3, a} entonces
A × B = {(1, 1),(1, 3),(1, a),(2, 1),(2, 3),(2, a)}
Decimos que R es una relación de A en B si R es un subconjunto de A × B. Decimos que R es una relación en A si R es una relación de A en A, es decir, un subconjunto de A×A. Si R es una relación de A en B también escribiremos a R b en lugar de (a, b) ∈ R.
4. Sea R : A → A una relación, donde A={1, 2, 3..., 10} dada por
R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4),(2, 5),(7, 6)}
esta relación tiene un n´umero finito de elementos.
Note que: Dom R={1,2,7} y Rec R={1,2,3,4,5,6}
5. Sea R : N → N una relaci´on definida por:
R = {(n, m)/n + 3m = 12; n, m ∈ N}
a) Exprese R como un conjunto de pares ordenados
b) Hallar Dom R y el Rec R
c) Determine R−1
Solucion
a) R = {(9, 1),(6, 2),(3, 3)}
b) Dom R = {3, 6, 9} , Rec R = {1, 2, 3}
c) R−1 = {(1, 9),(2, 6),(3, 3)} o bien R−1 = {(n, m)/m + 3n = 12, n, m ∈ N}
R = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(2, 4),(2, 5),(7, 6)}
esta relación tiene un n´umero finito de elementos.
Note que: Dom R={1,2,7} y Rec R={1,2,3,4,5,6}
5. Sea R : N → N una relaci´on definida por:
R = {(n, m)/n + 3m = 12; n, m ∈ N}
a) Exprese R como un conjunto de pares ordenados
b) Hallar Dom R y el Rec R
c) Determine R−1
Solucion
a) R = {(9, 1),(6, 2),(3, 3)}
b) Dom R = {3, 6, 9} , Rec R = {1, 2, 3}
c) R−1 = {(1, 9),(2, 6),(3, 3)} o bien R−1 = {(n, m)/m + 3n = 12, n, m ∈ N}
2.6 FUNCIONES
Ámbito (rango o recorrido) = {2, 4, 6}Una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.
EJEMPLOS
Dominio de una función o campo de existencia: es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a x ( variable independiente) forman el conjunto original. Gráficamente lo miramos en el eje OX (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.
Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Gráficamente lo miramos en el eje OY (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.
Función inyectiva: f: A→B, es una función inyectiva, si los elementos de B aparecen una única vez en la relación de A en B considerada.
Dicho de otra forma: si a elementos distintos de A, le corresponden elementos distintos de B. • ∀ a1 ≠ a2 , a1, a2 ∈ A se cumple que f(a1) ≠ f(a2) • Si f(a1)=f(a2) ∀ a1, a2 ∈ A entonces a1 = a2
Función sobreyectiva: f: A→B, es una función sobreyectiva, si todos los elementos de B son correspondientes de algún elemento de A. O sea todo elemento de B, es segunda componente del subconjunto de AxB considerado. ∀ b ∈ B ⇒ ∃ a ∈ A/ b=f(a)
Función biyectiva: f: A→B, es una función biyectiva, si f es inyectiva y sobreyectiva. O sea la correspondencia es uno a uno.
Función inversa: Ver relación inversa. Función inversa: Sea f: A→B una función, llamaremos función inversa de f (y la notamos f-1) a la función f -1: B→A / f -1 ={(y,x) ∈ BxA / (x,y) ∈ f}. Cabe preguntarnos: si f es una función, ¿ f -1lo será? f -1: B→A / f -1(b)=a ⇔ f(a)=b
EJEMPLOS
1. Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X
|
Conjunto Y
|
Ángela
|
55
|
Pedro
|
88
|
Manuel
|
62
|
Adrián
|
88
|
Roberto
|
90
|
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio ) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente . Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio ) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente . Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
2. Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Conjunto X
|
Conjunto Y
|
Desarrollo
|
− 2
|
− 1
|
f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
|
− 1
|
1
|
f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1
|
0
|
3
|
f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
|
1
|
5
|
f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
|
2
|
7
|
f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
|
3
|
9
|
f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
|
4
|
11
|
f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
|
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y . A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y .
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función ( f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x) , de un conjunto Y (codominio) .
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X .
Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Generalizando, si se tiene una función f , definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f , mientras que x es la preimagen de f(x) .
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.
3. Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4 , 6, 8 , 10, 12 }
Aquí debemos recordar que toda función es una relación , pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = { (1 ; 2) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) ; (4 ; 5) }
g = { (1 ; 2) ; (1 ; 3) ; (2 ; 4) ; (3 ; 5) ; (4 ; 5) }
h = { (1 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 3) } :
Está claro que f , g y h son relaciones de A en B , pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1 ; 2) y (1 ; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom ( h ) = {1 ; 2 ; 3} ≠ A (falta el 4).
4. ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x 2 .
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x 2 o f(x) = x 2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a 2 , etc.
5. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 6} y su correspondencia es el doble.
Entonces f(x) = 2x
En efecto
f(1) = 2 • 1 = 2
f(2) = 2 • 2 = 4
f(3) = 2 • 3 = 6
Tenemos
Dominio = {1, 2, 3}
Codominio = {2, 4, 6}
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