BLOQUE 3

NÚMEROS REALES

3.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS

Se representan con la letra R .

El conjunto de los Números Reales ( R ) está integrado por:

• El conjunto de los Números Racionales ( Q ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.

• El conjunto de los números enteros ( z ), positivos y negativos, más el cero

• El conjunto  de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( R ) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I .

Todos los números reales pueden ser  representados en la recta numérica.

Importante:

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

2.- No existe la división entre cero , pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.

Infinito no es un número real

Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.

Recuerde, además, que cualquier fracción con  numerador cero, tiene como resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)

EJEMPLOS

1. Números naturales (enteros positivos):

1
3
7
9
15
45
678
987
3456
2345
234567
384512
95732486
654821958
2468957888

2. Números enteros negativos:

 – 1
– 3
– 7
– 9
– 15
– 45
– 678
– 987
– 3456
– 2345
– 234567
– 384512
– 95732486
– 654821958
– 2468957888

Cero: 0

3. Números fraccionarios:

½
–  ¼
14/35
2/7
5/9
2/3
– 4/7
6/9
9/15
45/99
65/85
– 77/88
12/101
1/125
4/222

4. Números decimales:

.25
0.999,
0.625
0.3333333….
0.1234512345…
0.625
0.11111
0.512
0.99
0.000001
0.0000000002
0.15348
0.000000000000000024
0.000100040002
0.5248

5. Números irracionales:

√5
√2
√3
3√3
5√2
√7
√11
√101
4√99
7√12
3√9
5√33
7√2
4√4
3√122

3.2 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Adición de Números Reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b=b+a

$$a+b=b+a$$

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a=−b+a

$$a+(-b)=(-b)+a=-b+a$$

Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 7

$7$  y −11

$-11$. El orden de estos, al sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o 11+7 y esperar el mismo resultado que:

7+(−11)=−11+7=−4

$$7+(-11)=-11+7=-4$$

En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor que el término con valor positivo.

Sustracción de Números Reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−a

$$a-b\ne b-a$$

Donde a+(−b)

$a+(-b)$  si es igual a (−b)+a

$(-b)+a$. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

Multiplicación de números Reales

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=c

$$a\times b=c$$

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

+⋅+=+

$$+\cdot +=+$$

+⋅−=−

$$+\cdot -=-$$

−⋅+=−

$$-\cdot +=-$$

−⋅−=+

$$-\cdot -=+$$

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c

$$-a\times -b=c$$

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

a×−b=−c

$$a\times -b=-c$$

−a×b=−c

$$-a\times b=-c$$

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=d

$$a\times -b\times -c=d$$

a×−b×c=−d

$$a\times -b\times c=-d$$

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=a

$$a\times 1=a$$

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0

$$a\times 0=0$$

División de números Reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

a−b

=

−ab

=−

ab

$$\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}$$

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

Potenciación de números Reales

La potenciación tiene varias reglas como:

a0

=1

$$a^0=1$$

a1

=a

$$a^1=a$$

Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am

×

an

=

am+n

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

am

÷

an

=

am−n

$$a^m÷a^n=a^{m-n}$$

Potencia de potencia.

(

am)n

=

am×n

$$(a^m{)}^n=a^{m\times n}$$

Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an

×

bn

=(a×b

)n

$$a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$$

an

÷

bn

=(a÷b

)n

$$a^n÷b^n=(a÷b{)}^n$$

Propiedades de Números Reales

Todo número real tiene su inverso, es decir que 8 tiene su inverso -8 así como π$\pi$   tiene a -π$\pi$ .
El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.

Existen otras reglas como la de que no existen raíces de orden par en los números reales para los negativos, ya que su respuesta sería indefinida. Las raíces cuadradas, cuartas, sextas, etcétera, están definidas dentro del conjunto de números complejos y por lo tanto se excluyen de esta clasificación.

Esto concluye nuestra discusión sobre operaciones con números reales.

EJEMPLOS

1.   2 + 4 – (30 x -5) – 7 = 

Para este ejercicio se resolverán primero las operaciones dadas por los paréntesis, y luego se sumarán los números positivos, los números negativos, se restarán ambos resultados y se colocará el signo del absoluto mayor: 

2 + 4 – (-150) – 7 = 

2 + 4 + 150 – 7 = 

156 – 7 = 149

2.    3 + 5 – (-3 – 9 + 5) – { 3 + 4 + [-7 +2- 5 – (4 x -6) – 3 ] – 8 -4 } + 35 = 

Igualmente, se irán resolviendo las operaciones, dándole prioridad a los paréntesis, luego los corchetes, y finalmente las llaves, guiándose por las leyes de signos: 

3 + 5 + 3 + 9 – 5 – {3 + 4 + [-7 + 2 – 5 – (-24) – 3] – 8 -4} + 35 = 

3 + 5 + 3 + 9 – 5 – {3 + 4 + [-7 + 2 – 5 + 24 – 3] – 8 -4} + 35 = 

3 + 5 + 3 + 9 – 5 – {3 + 4 -7 + 2 – 5 + 24 – 3  – 8 -4} + 35 = 

3 + 5 + 3 + 9 – 5 – 3 – 4 + 7 – 2 + 5 – 24 + 3  + 8 + 4 + 35 = 

Positivos: 3 + 5 + 3 + 9 + 7 + 5 + 3  + 8 + 4 + 35= 82 

Negativos: -5 – 3 -4 -2 – 24 = – 14 

82 – 14 = 68

3.   8 – 2 – 3 –   – { 4 – 5 – 6 – [ 3 + 2 ( 4  x -5) – 3 – 2 ] – 3 ( 2 x -8) – 6 } -2 = 

8 – 2 – 3  –   – { 4 – 5 – 6 – [ 3 + 2 ( -20 ) – 3 – 2 ] – 3 ( -16 ) – 6 } -2 = 

8 – 2 – 3  –   – { 4 – 5 – 6 – [ 3 – 40 – 3 – 2 ]  + 48  – 6 } -2 = 

8 – 2 – 3  –  (9) – { 4 – 5 – 6 –  3 + 40 + 3 + 2 + 48  – 6 } -2 = 

8 – 2 – 3  –  9 –  4 + 5 + 6 + 3 – 40 – 3 – 2 – 48  + 6  -2 = 

Positivos: 8 +5 + 6 + 3+ 6 = 28 

Negativos: – 2 – 3  –  9 –  4- 40 – 3 – 2 – 48- 2 =  – 113 

28 – 113 = – 85

4.   [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

    [(2)³ + (−5)²] : [(−1) · (−11)] = 
    (8 + 25) : [(−1) · (−11)] = 
    (8 + 25) : 11 = 
    33: 11 = 3

5.   14 −{7 + 4 · 3 - [(-2)² · 2 - 6)]}+(2² + 6 - 5 · 3)+3-(5 - 2³ : 2) =

= 14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

= 14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

= 14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

= 14 − 17 - 5 + 3 - 1 = −6

3.3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí­ por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí­ces.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

¿Cómo las obtenemos? 

Pretendemos transformar un enunciado, donde hay uno o varios valores que no conocemos, en una expresión algebraica. Cada uno de los valores (variables) que no conocemos lo representaremos por una letra diferente.

Polinomios

Un polinomio en x es una suma de la forma:

an xn + an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0

Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un numero real. Si an es un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n.

EJEMPLOS

3.4 RAZONES Y PROPORCIONES

Las razones y proporciones, nosotros denominamos razón al cociente que es indicado por dos números y que representa la relación entre dos cantidades y una proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones.

Razón. Una razón indica en forma de división la relación entre dos cantidades. Nos indica cuántas unidades hay en relación a las otras, y se suele indicar simplificando las fracciones.

Por ejemplo, si en un salón de clases tenemos 24 niñas y 18 niños, entonces lo representaremos de alguna de las siguientes formas:

24/18

24:18

Y como la fracción podemos simplificarla al dividirla entre 6, entonces tendremos:

4/3

4:3

Y se lee que existe una razón de 4 a 3, o de 4 por cada 3.

Cada uno de los valores de una razón tiene un nombre. El valor que está del lado izquierdo de la relación, se le llama antecedente, y al valor del lado derecho se le llama consecuente.

En este caso, la relación de niñas respecto a los niños es una relación de 4 a 3, o de 4 niñas por cada 3 niños.

Proporción. La proporción indica mediante una igualdad la comparación de dos razones. Para escribir una proporción, debemos tener en cuenta que los valores antecedentes, siempre estén del mismo lado, al igual que los consecuentes.

En nuestro ejemplo del salón de clases, podemos comparar la razón que tenemos, de 4 niñas por cada 3 niños, y podremos calcular cuántos niños hay en un salón en relación al número de niñas o viceversa. Para esto, en primer lugar escribiremos la proporción que ya conocemos:

4:3

Después, un signo de igualdad

4:3=

Y después la cantidad total, por ejemplo la del mismo salón, recordando que debemos respetar el orden del antecedente y del consecuente. En nuestro ejemplo, el antecedente será el número de niñas, y el consecuente el número de niños.

4:3=24:18

Para comprobar la igualdad de la proporción, se efectúan dos multiplicaciones. En una proporción, tomaremos como referencia el signo de igualdad. Los números que están más cercanos, se llaman centros, y los números más lejanos son los extremos. En nuestro ejemplo, los números 3 y 24 son los más cercanos al signo igual, por lo que son los centros. El 4 y el 18, son los extremos. Para comprobar que la proporción es correcta, el producto de la multiplicación de los centros debe ser igual al producto de la multiplicación de los extremos:

3 X 24 = 72

4 X 18 = 72

Proporción directa y proporción inversa: Las proporciones pueden expresar relaciones en que el aumento de la cantidad del antecedente aumenta la cantidad del consecuente. A esta variación se le llama proporción directa. El ejemplo anterior es una proporción directa.

En una proporción inversa, el aumento de la cantidad en el antecedente, significa la disminución de la cantidad en el consecuente.

Por ejemplo, en una mueblería, 6 trabajadores hacen 8 sillones en 4 días. Si queremos saber cuántos trabajadores se necesitan para construir los 8 sillones en 1, 2 y 3 días, usaremos una proporción inversa.

Para determinarla, usaremos el número de trabajadores como cifra antecedente, y el número de días como cifra consecuente:

6:4=

Siguiendo el mismo orden, del otro lado de la igualdad tendremos como antecedente nuevamente el número de trabajadores, y como consecuente los días que tardarán. Tendremos algo como lo siguiente:

6:4 = ?:3

6:4 = ?:2

6:4 = ?:1

Para determinar la proporción inversa, multiplicaremos los factores de la razón conocida, en nuestro ejemplo, 6 y 4, y el resultado lo dividiremos entre el dato conocido de la segunda razón. Así, en nuestro ejemplo, tendremos:

6 X 4 = 24

24 / 3 = 8

24 / 2 = 12

24 / 1 = 24

Así tendremos las proporciones siguientes:

6:4 = 8:3

6:4 = 12:2

6:4 = 24:1

Con lo que podemos calcular que para producir los 8 sillones en tres días, necesitamos 8 trabajadores; para fabricarlos en dos días, necesitamos 12 trabajadores, y para hacerlos en 1 día, necesitamos 24 trabajadores.

EJEMPLOS  

1. En una caja tenemos 45 canicas azules y 105 canicas rojas. 

La expresamos como 45:105 y dividiendo entre 15, tenemos que la razón es de 3:7 (tres por cada siete), o sea, tres canicas azules por cada siete canicas rojas.                      

2. En una clase de un colegio cada  pelota es utilizada por cada equipo de cinco niños, o sea que tenemos cinco alumnos por cada pelota de fútbol. 

Tenemos entonces en este ejemplo de razón que la relación entre alumnos – pelotas es 5 a Esta razón se escribe 5:1 y concluimos que existe una razón de cinco alumnos por cada pelota de fútbol.

3. En una fiesta se invitaron a niños y niñas. Si sabemos que acudieron en una proporción de  6 niñas por cada 4 niños, y en la fiesta hay 32 niños ¿Cuántas niñas fueron?

6:4 = ?:32

32 X 6 = 192

192 / 4 = 48 niñas fueron a la fiesta.

6:4 = 48:32 (6 es a 4 como 48 es a 32)

4. En una tienda se venden dulces nacionales e importados, a razón de 3:2 Si sabemos que al día se vende 255 dulces nacionales, ¿Cuántos dulces importados se venden al día?

3:2=256:?

2 X 255 = 510

510 / 3 = 170 dulces importados.

3:2 = 256:170 (tres es a dos como 256 es a 170)

5. Si 4 alumnos realizan un trabajo en equipo en 45 minutos ¿Cuánto tiempo tardarán si el equipo está formado por 6, 8, 10 y 12 estudiantes?

Tendremos las siguientes proporciones:

a)      4:45 = 6:?

b)      4:45 = 8:?

c)      4:45 = 10:?

d)     4:45 = 12:?

4 X 45 = 180

a)      180 / 6 = 30 minutos

b)      180 / 8 = 22.5 minutos

c)      180 / 10 = 18 minutos

d)     180 / 12 = 15 minutos

Por lo que las proporciones serán:

a)      4:45 = 6:30

b)      4:45 = 8:22.5

c)      4:45 = 10:18

d)     4:45 = 12:15

3.5 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).

Por ejemplo,

Notemos que:

• si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
• si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo);
• si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.

¡No negativos!

Así que en la práctica el "valor absoluto" significa quitar el signo negativo de delante de un número, y pensar en todos los números como números positivos.

Símbolo de valor absoluto

Para indicar el valor absoluto de algo, pones símbolos "|" a los lados, como en estos ejemplos:

|-5| = 5

|7| = 7

Restar de las dos maneras

No importa en qué orden hagas una resta, su valor absoluto siempre será el mismo:

|8-3| = 5	|3-8| = 5
(8-3 = 5)	(3-8 = -5, y |-5| = 5)

EJEMPLOS

1)   |x| = 4

S = { 4 , - 4 }

2)    |3x| = 5

3)   |x - 3| = 1

S = { 4 , 2 }

4)   |1 + 5x| = - 3

Sabemos que siempre tiene que ser:

|1 + 5x| ≥ 0       ∀x ∈ R

Luego nunca puede ocurrir:

|1 + 5x| = - 3

Por tanto, la ecuación no tiene solución

5)   |x + 4| = x + 1

Comprobamos la solución:

Por tanto, la ecuación no tiene solución.

3.6 ECUACIONES

Es una igualdad algebraica que se verifica para ciertos valores de la variable.

Con otras palabras: 

Es una igualdad en las que aparecen números y letras (llamadas incógnitas o variables) relacionados mediante operaciones matemáticas.

La incógnita de una ecuación es la letra con valor desconocido.

El grado de una ecuación es el mayor exponente con que figura la incógnita en la ecuación una vez realizadas todas las operaciones.

Cuando la ecuación sólo contiene una letra le llamamos ecuaciones con una incógnita. 

(Habitualmente, la x, pero no necesariamente). 

Decimos que las ecuaciones son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna

potencia (el exponente es 1 y puede omitirse). 

Miembros de la ecuación.

Se llama PRIMER MIEMBRO a todo lo que se encuentra a la izquierda del signo de igualdad. 

(O sea la expresión que está antes del signo).

Se llama SEGUNDO MIEMBRO a todo lo que se encuentra a la derecha del signo de igualdad. 

(O sea la expresión que está después del signo) 

EJEMPLOS

1. 

x-15	=	-27
x	=	-27+15
x	=	-12

Comprobación

-12-15	=	-27
-27	=	-27

2. 

-11x+12	=	144
-11x	=	144-12
-11x	=	132
x	=	132/-11
x	=	-12

Comprobación

-11(-12)+12	=	144
132+12	=	144
144	=	144

3.

-8x-15	=	-111
-8x	=	-111+15
-8x	=	-96
x	=	-96/-8
x	=	12

Comprobación

-8(12)-15	=	-111
-96-15	=	-111
-111	=	-111

4. 

-10x+9	=	-81
-10x	=	-81-9
-10x	=	-90
x	=	-90/-10
x	=	9

Comprobación

-10(9)+9	=	-81
-90+9	=	-81
-81	=	-81

5. 

14x+13	=	-71
14x	=	-71-13
14x	=	-84
x	=	-84/14
x	=	-6

Comprobación

14(-6)+13	=	-71
-84+13	=	-71
-71	=	-71

3.7 INECUACIONES

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) <= g(x), f(x) > g(x) o f(x)>= g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

Todos los valores de x menores que -7 satisfacen la inecuación.

Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

3x > -2
-9x < 6
x < -2/3

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones

5x + 6 < 3x - 8
3x > 2

La solución de la primera ecuación es:

5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

La solución de la segunda ecuación es:

3x > -2
x < -2/3

La solución del sistema sería x < -7.

Inecuaciones de segundo grado.

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.

x² - 5x + 6 > 0

Las soluciones de la ecuación x² - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde menos infinito hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta infinito .

x - 2 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e infinito.
x - 3 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:

x² -5x + 6 es positivo para los valores entre menos infinito y 2.
x² - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x² - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.

Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador.

Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelven convirtiendo la función valor absoluto en dos inecuaciones

|x - 3| > 3

conlleva que -3>(x-3)>3, luego

x-3 >3
-3>x-3  

son los puntos mayores que 0 y menores que 6.

EJEMPLOS

1.

2.

2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

(-∞, 4)

3.

2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

4.

2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

(4, ∞)

5.

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)