FUNCIONES
4.1 DEFINICIÓN DOMINIO Y RANGO
FUNCIÓN
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.
De forma más abstracta, el concepto general de función, se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto.
Por ejemplo , una funcion seria el area de un circulo , ya que el area depende de la medida del radio.
El valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2
Entonces , se dice que el area a de un circulo es funcion de su radio.
A la primera magnitud (el área) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio) es la variable independiente.
DOMINIO
El dominio de una funcion son los valores para los cuales la funcion esta definida o en otras palabras, es el conjunto de todos los posibles valores que la funcion acepta.
Por ejemplo:
Si la funcion f(x) = x al cuadrado, se le dan los valores x = {1,2,3....} entonces {1,2,3....} es el dominio.
RANGO
El rango de una funcion es el conjunto de todos los valores de salida de una funcion o es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.
EJEMPLOS
1.
2.
3.
4.
5.
4.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
Se llama estudiar una función al conjunto de las tareas encaminadas a determinar los elementos que definen su comportamiento para los diferentes intervalos de valores de su dominio. Crecimiento, concavidad, tendencias asintóticas y otras informaciones relacionadas sirven de ayuda para conocer la conducta de las funciones matemáticas y extraer datos de optimización relevantes para los problemas prácticos.
Estudio de una función
Para estudiar el comportamiento de una función, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:
- Determinación de su dominio de definición .
- Búsqueda de simetrías y periodicidades.
- Fijación de los puntos de corte con los ejes .
- Cálculo de las asíntotas.
- Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los máximos y los mínimos relativos.
- Concavidad, convexidad y puntos de inflexión .
- Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano.
- Representación gráfica.
Regiones del plano
Una vez conocidos el dominio de definición, las simetrías, los cortes con los ejes, las asíntotas, los puntos críticos, el crecimiento y la concavidad de una función, para representarla visualmente se divide el plano en regiones que ayuden a conocer su comportamiento.
Ejemplo de regionalización de una función para el análisis gráfico de su comportamiento.
Las informaciones obtenidas del estudio de una función se pueden complementar con una breve tabla de valores que ayude a fijar exactamente la posición de las diversas ramas de la función. Con ello, su evolución en el plano quedará perfectamente definida, y el trabajo de estudio terminado.
EJEMPLOS
1. Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3
Lo primero que hacemos es tabular valores de los pares ordenados x,y para representarlos
en el plano cartesiano:
1. Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3
Lo primero que hacemos es tabular valores de los pares ordenados x,y para representarlos
en el plano cartesiano:
Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los punots para obtener la gráfica de nuestra función.
2. Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3
Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:
Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.
3. Determinar Dominio y Rango de f(x) = – x2 + 5x - 4
Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.
Ahora tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano y ver qué forma tiene nuestra gráfica
Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.
4. Determinar Dominio y Rango de f(x) = x3 – 6x2 + 8x
5. Determinar Dominio y Rango de
Lo primero que tenemos que determinar los valores para los cuales no está definida la función. para ello igualamos el denominador a cero :
X – 1 = 0 ; X = 1
Por tanto, el dominio estará formado por todos los reales excepto para x=1. Es decir, habrá una asíntota vertical en x=3 y además será punteada, porque la función se acerca a este valor pero nunca lo toca.
El dominio estará formado por todos los reales excepto en x=1.
Dom f(x) = R – {1} ; (– ∞ , 1) U (1 , + ∞ )
Antes de tabular valores, lo primero que tenemos que mirar es si se puede simplificar o no la función.
En el numerador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos que podemos expresar como (x -1) (x +1), la cual podemos simplificar. Así:
Tenemos finalmente que y = x+1 (esto significa que nuestra gráfica será una recta discontinua en x = 1).
Esta gráfica presenta un “hueco” en “Y = 2”, Luego la función estará definida en todos los valores de Y excepto en “Y = 2”.
4.3 TIPOS DE FUNCIONES
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
EJEMPLO
1. Graficar la siguiente función:
También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas
2. Una función de la forma f(x) = b , donde b es una constante, se conoce como una función constante .
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
EJEMPLO
1. Graficar la siguiente función:
La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.
De ahí subo 1 y avanzo 2, como me lo indica la pendiente.
También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas
2. Una función de la forma f(x) = b , donde b es una constante, se conoce como una función constante .
Por ejemplo, f(x) = 3 , (que corresponde al valor de y ) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3 . La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.
3. f(x) = x 2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0)
4. El precio de arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.
a) Hallar la fórmula que expresa el costo del arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.
b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?
c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?
Veamos:
a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la función es f ( x ) = 15 + 0,2 x .
b) x = 50 entonces
f (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25
Hay que pagar 25 dólares.
c) f ( x ) = 53 entonces
15 + 0,2 x = 53 entonces x = 190
Se han recorrido 190 km.
5. Graficar la función dada por f ( x ) = 2 x – 1
Solución
Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:
Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = − 1
Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3
Así, los puntos obtenidos son (0, −1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.
Veamos ahora el proceso inverso; o sea, si tenemos la gráfica de una función queremos encontrar su expresión analítica o matemática.
Para eso, necesitamos encontrar una expresión de la forma f(x) = ax + b a partir de la gráfica.
Por ejemplo, a partir de la siguiente gráfica, vamos a calcular su expresión matemática.
La imagen de 0 es b porque f(0) = a(0) + b = b luego b = –3
Tomamos otro punto, por ejemplo, el (2, 1); el 1 es la imagen del 2 luego se cumple que:
1 = a(2) + b → 1 = 2a – 3 → 4 = 2a → a = 2
Nuestra recta será: f(x) = 2x – 3
4.4 FUNCIONES LINEALES
Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe:
f(x) = mx + b.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.
Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo.
Las funciones se pueden clasificar en tres tipos:
Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente.
Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente.
Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).
Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe:
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.
Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo. Las funciones se pueden clasificar en tres tipos: Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente. Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente. Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).
f(x) = mx + b.
m = pendiente de la recta (constante).
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante).
x = variable.
Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo. Las funciones se pueden clasificar en tres tipos: Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente. Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente. Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X).
EJEMPLOS
1. y = 2x
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.
Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2 , -4)
Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.
Para x = - 2, y = 2(-2) = -4 quedando la pareja (-2 , -4)
Para x = 1, y = 2(1) = 2 quedando la pareja (1 , 2)
X
|
y = 2x
|
-2
|
-4
|
-1
|
-2
|
0
|
0
|
1
|
2
|
2
|
4
|
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.
Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 = 7 quedando la pareja (-1 , 7)
Para x = 2, y = -3(2) + 4 = -2 quedando la pareja (2 , -2)
X
|
y = - 3x + 4
|
-1
|
7
|
0
|
4
|
1
|
1
|
2
|
-2
|
3
|
-5
|
3. y = 2x − 1
Representa la función afín:
Representa la función afín:
| x | y = 2x − 1 |
|---|---|
| 0 | −1 |
| 1 | 1 |
4. y = ½x - 1
Representa la función afín:
Representa la función afín:
| x | y = ½x − 1 |
|---|---|
| 0 | −1 |
| 2 | 0 |
5. y = 2x
Representa la función lineal
4.5 FUNCIONES CUADRÁTICAS
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:
f(x) = ax 2 + bx + c
donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax 2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa , si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta .
Representación gráfica de una función cuadrática
Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .
Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Estas características o elementos son:
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
Punto de corte con el eje de ordenadas
Eje de simetría
Vértice
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:
- Igualar la ecuación a cero.
- Factorizar la ecuación.
- Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.
Para graficar la función seguimos estos pasos:
- Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.
- Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación, para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.
- Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con la fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.
- Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva.
EJEMPLOS
1.Representa gráficamente la función cuadrática:y = -x² + 4x - 3
Vértice
x v = − 4/ −2 = 2 y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1)
Puntos de corte con el eje OX.
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
Punto de corte con el eje OY.
Punto de corte con el eje OY.
(0, −3)
2. Representa gráficamente: y = x² +x + 1
Vértice.
xv = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4
V(−1/ 2, 3/ 4)
Vértice.
xv = −1/ 2 yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4
V(−1/ 2, 3/ 4)
Puntos de corte con el eje OX.
x² + x + 1= 0
1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX.
Punto de corte con el eje OY.
x² + x + 1= 0
1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX.
Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
3. Representa gráficamente la función cuadrática:
y = x² + 2x + 1
Vértice
x v = − 2/ 2 = −1 y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0 V(− 1, 0)
Puntos de corte con el eje OX.
x² + 2x + 1= 0
Coincide con el vértice: (−1, 0)
Punto de corte con el eje OY.
(0, 1)
4.Graficar la siguiente función cuadrática:
y = x2 – 4x + 3.
5. Graficar la siguiente función cuadrática:
y = x2 -4x + 4
4.6 TÉCNICAS DE GRAFICACION DE FUNCIONES
Mediante una gráfica conocida es posible obtener nuevas gráficas que tengan alguna relación con ella. Estas relaciones matemáticamente se las representa mediante sumas o productos de constantes con las variables del dominio y rango de la función original.
Desplazamientos:
Pueden darse horizontal o verticalmente, es decir, podemos mover la gráfica de una función hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo. Dada la regla de correspondencia de f, siendo c > 0, se pueden generar las nuevas funciones:
▪ y = f (x + c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la izquierda.
▪ y = f (x − c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la derecha.
▪ y = f (x) + c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia arriba.
▪ y = f (x) − c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia abajo.
Reflexiones:
Pueden ser con respecto a alguno de los ejes coordenados. Dada la regla de correspondencia de f, se pueden generar las nuevas funciones:
▪ y = f (− x): reflexión de la gráfica de f con respecto al eje Y.
▪ y = − f (x): reflexión de la gráfica de f con respecto al eje X.
EJEMPLOS
Representa las siguientes funciones, sabiendo que:
1. Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1.
| x | y = −3x − 1 |
|---|---|
| 0 | −1 |
| 1 | −4 |
2. Tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2).
y = 4 x + n 2 = 4 · (−3) + n n= 14
y = 4 x + 14
| x | y = 4x + 14 |
|---|---|
| 0 | 14 |
| 1 | 18 |
3. Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7).
5 = −m + n −5 = m − n
7 = 3m + n 7 = 3m + n
2 = 4m m = ½ n = 11/2
y= ½x + 11/2
| x | y = ½x + 11/2 |
|---|---|
| 0 | 11/2 |
| 1 | 6 |
4. Pasa por el punto P(2, −3) y es paralela a la recta de ecuación y = −x + 7.
m = −1
−3 = −1 · (−2) + n n = − 1
y = −x − 1
| x | y = −x −1 |
|---|---|
| 0 | −1 |
| 1 | −2 |
5. Tres kilogramos de boquerones valen 18 €. Escribe y representa la función que define el coste de los boquerones en función de los kilogramos comprados.
18/3 = 6 y = 6x
4.7 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Sean f y g dos funciones reales de variable real y de dominios Dom(f) y Dom(g), respectivamente.
Suma de funciones
Llamamos suma de f y g, a una operación real que denominamos (f + g) tal que:
(f + g) (x) = f(x) + g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩ Dom(g)]
Llamamos función nula o función cero a aquella función que asigna a cualquier elemento del dominio el valor 0 como imagen. La expresamos por 0.
Se verifica que:
(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x)
Por tanto, la función nula es el elemento neutro para la suma de funciones.
Dada una función f definida en D, llamamos función opuesta de f, y la expresamos por - f, a la función:
La función opuesta verifica que para toda función f se cumple que:
f + (-f) = (-f) + f = 0
La función opuesta es el elemento opuesto para la suma de funciones.
Producto de funciones
Llamamos producto de f por g, y lo expresamos por (f · g), a la función:
(f · g)(x) = f(x) · g(x) , para todo x ∈ [Dom(f) ∩Dom(g)]
Llamamos función unidad, y la expresamos por 1, a aquella función que a cada número real le asigna el número real 1.
Se verifica que:
(f · 1)(x) = f(x) · 1(x) = f(x)
La función unidad el elemeno neutro para el producto de funciones.
Dada una función f de dominio D, tal que f(x) ≠ 0 para todo valor x de D, llamamos función recíproca de f, y la expresamos por 1/f, a la función:
La función recíproca es el elemento inverso para el producto de funciones.
Si f es una función que se anula en algún punto de su dominio D, el dominio de 1/f es:
Dom(1/f) = D - { x ∈ D / f(x) = 0 }
Cociente de funciones
Llamamos cociente de f y g a otra función real que denominamos por f/g, tal que:
EJEMPLOS
1. Dadas las funciones polinómicas f(x) = x2 - 1 y g(x) = 2x3 , calcula las siguientes operaciones y sus dominios:
1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 - 1 + 2x3
Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R
2) (f + g)(2) = 22 - 1 + 2·23 = 19
3) (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x2 - 1 - 2x3
Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(f - g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R
4) (f - g)(0) = - 1
2. Dadas las funciones polinómicas f(x) = x2 - 1 y g(x) = 2x3 , calcula las siguientes operaciones y sus dominios:
1) (-5g)(x) = -5·g(x) = -5(2x3) = - 10x3
Como Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(-5g) = Dom(g) = R
2) (-5g)(-2) = -5·g(-2) = -10(-2)3 = 80
3) (f · g)(x) = f(x)·g(x) = (x2 - 1)( 2x3) = 2x5 - 2x3
Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R
4) (f · g)(1) = f(1)·g(1) = 2·15 - 2·13 = 2 - 2 = 0
5) (g · f)(x) = g(x)·f(x) = ( 2x3)(x2 - 1) = 2x5 - 2x3
Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:
Dom(g · f) = Dom(g) ∩ Dom(f) = R
3. Dadas las funciones:
Calcula las siguientes operaciones y sus dominios:
En primer lugar calculamos sus correspondientes dominios:
• Dom(f) viene dado por todos los valores reales tales que:
x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3 ⇔ x ∈ [-3 , ∞) ⇒ Dom(f) = [3 , ∞)
• Dom(g) viene dado por todos los valores reales excepto por aquellos que anulan el denominador:
x2 - 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ Dom(g) = R - {-1 , 1}
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [-3 , ∞) ∩ [R - {-1 ,1}] = [-3 , ∞) - {-1 , 1}
Dom(g + f) = Dom(g) ∩ Dom(f) = [R - {-1 ,1}] ∩ [-3 , ∞)= [-3 , ∞) - {-1 , 1}
4. Dadas las funciones:
En primer lugar calculamos sus correspondientes dominios:
• Dom(f) viene dado por todos los valores reales tales que:
x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3 ⇔ x ∈ [-3 , ∞) ⇒ Dom(f) = [3 , ∞)
• Dom(g) viene dado por todos los valores reales excepto por aquellos que anulan el denominador:
x2 - 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 ⇒ Dom(g) = R - {-1 , 1}
Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [-3 , ∞) ∩ [R - {-1 ,1}] = [-3 , ∞) - {-1 , 1}
Dom(f · f) = Dom(f) ∩ Dom(f) = [-3 , ∞) ∩ [-3 , ∞) = [-3 , ∞)
5. Dadas las funciones:
Calcula las siguientes operaciones y sus dominios:
En primer lugar calculamos sus correspondientes dominios:
• Dom(f) viene dado por todos los valores reales tales que: x2 - 9 ≥ 0
x2 - 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ±3 ⇒ (-∞ , -3] , [-3 , 3] , [3 , ∞)
(-∞ , -3]: x = -4 , x2 - 9 ≥ 0 ⇒ (-4)2 - 9 = 7 > 0
[-3, 3]: x = 0 , x2 - 9 ≥ 0 ⇒ - 9 < 0
[3, ∞): x = 4 , x2 - 9 ≥ 0 ⇒ 42 - 9 = 7 > 0
Dom(f) = (-∞ , -3] ∪ [3, ∞)
• Dom(g) viene dado por todos los valores reales tales que: 16 - x2 ≥ 0
16 - x2 = 0 ⇔ 16 = x2 ⇔ ±4 = x ⇒ (-∞ , -4] , [-4 , 4] , [4 , ∞)
(-∞ , -4]: x = -5 ⇒ 16 - (-5)2 = -9 < 0
[-4, 4]: x = 0 ⇒ 16 - 02 = 16 > 0
[4, ∞): x = 5 ⇒ 16 - 52 = -9 < 0
Dom(f) = [-4, 4]
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = { (-∞ , -3] ∪ [3, ∞) } ∩ [-4 , 4] = [-4 , -3] ∪ [3 , 4]
Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = { (-∞ , -3] ∪ [3, ∞) } ∩ [-4 , 4] = [-4 , -3] ∪ [3 , 4]
Una función polinómica es aquella que está definida por un polinomio:
donde a0, a1 ... an-1, an son números reales que se llaman coeficientes del polinomio y n es el grado del polinomio.
Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes:
1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
2) Son siempre continuas.
3) No tienen asíntotas.
4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
5) Cortan el eje Y en el punto (0, a0).
6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.
7) El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.
Funciones polinómicas de grado 0: rectas horizontales
Funciones polinómicas de primer grado: rectas oblicuas
Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas
Funciones polinómicas de tercer grado: cúbicas
Funciones polinómicas de cuarto grado: cuárticas
EJEMPLOS
1. Representa la siguiente recta con todas sus características y halla la pendiente y la ordenada en el origen:
y = 3
1) Tipo de función: es una función constante.
2) Dominio: R
3) Recorrido o imagen: 3
4) Continuidad: es continua en todo R
5) Simetrías:
f(-x) = 3 = f(x)
Tiene simetría par.
6) Cortes con los ejes:
x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ (0 , 3)
y = 0 ⇒ 0 ≠ 3
La ordenada en el origen es n = 3.
7) Signo de la función:
Para cualquier valor de x siempre se tiene y = 3 > 0 , luego la función es positiva en todo R.
8) Monotonía:
La pendiente de la recta es m = 0 .
La función no es ni creciente ni decreciente, es una función constante.
9) Acotación:
Las cotas inferiores de la función son: (-∞ , 3].
De todas las cotas inferiores, la más grande es y = 3 , por lo que inf(f) = 3.
Como 3 ∈ Im(f) , tenemos que y = 3 es el mínimo absoluto de la función.
Igualmente, se puede deducir que y = 3 es el máximo absoluto de la función.
Por tanto, la función está acotada, pues está acotada tanto inferior como superiormente.
2. Representa la siguiente recta con todas sus características y halla la pendiente y la ordenada en el origen:
y = - x/3
1) Tipo de función: es una función lineal o de proporcionalidad directa.
2) Dominio: R
3) Recorrido o imagen: R
4) Continuidad: es continua en todo R
5) Simetrías:
f(-x) = - (-x)/3 = x/3 = - f(x)
Tiene simetría impar.
6) Cortes con los ejes:
x = 0 ⇒ y = 0 ⇒ (0 , 0)
y = 0 ⇒ 0 = - x/3 ⇒ x = 0 ⇒ (0 , 0)
La ordenada en el origen es n = 0 .
7) Signo de la función:
Veamos para qué valores de x la función es positiva (está por encima del eje X):
-x/3 > 0 ⇔ -x > 0 ⇔ x < 0
La función es positiva en: (-∞ , 0) .
Y por tanto, la función es negativa en el resto de valores: (0 , ∞) .
8) Monotonía:
La pendiente de la recta es m = - 1/3 .
Como m = -1/3 < 0 la función es decreciente.
9) Acotación:
Como es una función lineal, no está acotada ni superior, ni inferiormente.
Por tanto, la función no está acotada.
3. Representa la siguiente recta con todas sus características y halla la pendiente y la ordenada en el origen:
y = 3x/2 - 2
1) Tipo de función: es una función afín.
2) Dominio: R
3) Recorrido o imagen: R
4) Continuidad: es continua en todo R
5) Simetrías:
f(-x) ≠ f(x) , f(-x) ≠ - f(x)
La función no tiene simetría, ni par ni impar
6) Cortes con los ejes:
x = 0 ⇒ y = - 2 ⇒ (0 , - 2)
y = 0 ⇒ 0 = 3x/2 - 2 ⇒ 2 = 3x/2 ⇒ x = 4/3 ⇒ (4/3 , 0)
La ordenada en el origen es n = - 2 .
7) Signo de la función:
Veamos para qué valores de x la función es positiva (está por encima del eje X):
3x/2 - 2 > 0 ⇔ 3x/2 > 2 ⇔ 3x > 4 ⇔ x > 4/3
La función es positiva en: (4/3 , ∞) .
Y por tanto, la función es negativa en el resto de valores: (-∞ , 4/3) .
8) Monotonía:
La pendiente de la recta es m = 3/2 .
Como m = 3/2 > 0 la función es creciente.
9) Acotación:
Como es una función afín, no está acotada ni superior, ni inferiormente.
Por tanto, la función no está acotada.
4.Representa la recta que pasa por el punto P(2 , -3) y tiene de pendiente m = 2/5 .
Pendiente: m = 2/5
Punto: P(2 , -3)
Escribimos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:
5. Representa la recta que pasa por los puntos A(-1 , 3) y B(2 , -1) . Halla su ecuación.
Hallamos la pendiente:
(x0 , y0) = A(-1 , 3)
(x1 , y1) = B(2 , -1)
Escribimos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente tomando, por ejemplo, el punto A:
Para representar la recta tomamos los puntos del enunciado:
4.9 FUNCIONES RACIONALES
Una función es racional si es el cociente de dos polinomios:
siendo el grado del polinomio Q(x) distinto de 0.
Las características generales de las funciones racionales son:
1) El dominio de las funciones racionales son los números reales menos las raíces del denominador, es decir:
2) Son discontinuas en los valores de x que son raíces del denominador.
3) Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador, y pueden tener asíntotas horizontales y oblicuas.
Función de proporcionalidad inversa
Una función de proporcionalidad inversa es una función racional del tipo:
Su gráfica es una hipérbola.
Las características generales de las funciones de proporcionalidad inversa son:
1) El dominio de la función de proporcionalidad inversa es R - {0} .
2) La función es discontinua en x = 0 .
3) En x = 0 existe una asíntota vertical.
4) A medida que los valores de x crecen o decrecen, la función se acerca al eje Y, por lo tanto tiene una asíntota horizontal en y = 0 .
5) La gráfica de este tipo de funciones no corta a los ejes de coordenadas.
6) La función es impar y por tanto simétrica al origen de coordenadas.
7) Para k > 0 la función es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante.
Para k < 0 la función es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante.
Representación gráfica de funciones de proporcionalidad inversa:
1) Puntos de corte con los ejes:
Para x = 0 la función f(x) no está definida puesto que f(0) = 3/0 (no real).
Para x = 0 la función g(x) no está definida puesto que g(0) = - 3/0 (no real).
2) Simetrías:
Las funciones f(x) y g(x) son impares, es decir, son simétricas respecto al eje de coordenadas.
3) Crecimiento o decrecimiento:
Para la función f(x) tenemos que k > 0 , por lo tanto la función es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante. Es decir, la función es decreciente en (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).
Para la función g(x) tenemos que k < 0 , por lo tanto la función es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante. Es decir, la función es creciente en (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞).
4) Tabla de valores:
Construimos una tabla de valores.
1. Escribe la fórmula de la siguiente hipérbola:
Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área k unidades cuadradas.
Por lo tanto, tenemos que k = 3 .
Además, la gráfica tiene una asíntota vertical y = 4 y una asíntota horizontal en x = 0 .
Es decir, la gráfica es una traslación horizontal hacía la derecha en cuatro unidades de la función f(x) = 3/x .
Por lo tanto, la función que buscamos es f(x - 4) :
2. Escribe la fórmula de la siguiente hipérbola:
Por la gráfica observamos que la función es creciente, por lo tanto tenemos que k < 0 .
Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área k unidades cuadradas.
Por lo tanto, tenemos que k = - 1 .
Además, la gráfica tiene una asíntota vertical y = - 2 y una asíntota horizontal en x = - 3 .
Es decir, la gráfica es una traslación horizontal hacía la izquierda en dos unidades y vertical hacía abajo en tres unidades de la función f(x) = - 1/x .
Por lo tanto, la función que buscamos es f(x + 2) - 3 :
Por la gráfica observamos que la función es creciente, por lo tanto tenemos que k < 0 .
Como la gráfica es una hipérbola equilátera, cada punto de la gráfica forma con el punto donde se cortan las asíntotas, un rectángulo de área k unidades cuadradas.
Por lo tanto, tenemos que k = - 1 .
Además, la gráfica tiene una asíntota vertical y = - 2 y una asíntota horizontal en x = - 3 .
Es decir, la gráfica es una traslación horizontal hacía la izquierda en dos unidades y vertical hacía abajo en tres unidades de la función f(x) = - 1/x .
Por lo tanto, la función que buscamos es f(x + 2) - 3 :
1) Los valores que anulan al denominador son:
(x - 1)2 = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1
Dom(f) = R - {1}
2) Como k = 3 > 0 : Im(f) = (0 , ∞)
3) Corta al eje de ordenadas en el punto :
k = 3 , a = 1 ⇒ (0 , 3)
4) Es discontinua en el punto : x = 1
5) Como k = 3 > 0 : está acotada inferiormente por y = 0 .
6) Como a ≠ 0 : no tiene simetría par ni impar.
7) Como k > 0 :
La función es estrictamente creciente en (-∞ , 1).
La función es estrictamente decreciente en (1 , ∞).
8) No tiene periodicidad.
9) No tiene extremos relativos.
10) Tabla de valores:
(x - 1)2 = 0 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1
Dom(f) = R - {1}
2) Como k = 3 > 0 : Im(f) = (0 , ∞)
3) Corta al eje de ordenadas en el punto :
k = 3 , a = 1 ⇒ (0 , 3)
4) Es discontinua en el punto : x = 1
5) Como k = 3 > 0 : está acotada inferiormente por y = 0 .
6) Como a ≠ 0 : no tiene simetría par ni impar.
7) Como k > 0 :
La función es estrictamente creciente en (-∞ , 1).
La función es estrictamente decreciente en (1 , ∞).
8) No tiene periodicidad.
9) No tiene extremos relativos.
10) Tabla de valores:
4. Representa la siguiente función racional: y = - 4 / (x - 3)2
1) Los valores que anulan al denominador son:
(x - 3)2 = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
Dom(f) = R - {3}
2) Como k = - 4 < 0 : Im(f) = (-∞, 0)
3) Corta al eje de ordenadas en el punto :
k = - 4 , a = 3 ⇒ (0 , -4/9)
4) Es discontinua en el punto : x = 3
5) Como k = - 4 < 0 : está acotada superiormente por y = 0 .
6) Como a ≠ 0 : no tiene simetría par ni impar.
7) Como k < 0 :
La función es estrictamente decreciente en (-∞ , 3).
La función es estrictamente creciente en (3 , ∞).
8) No tiene periodicidad.
9) No tiene extremos relativos.
1) Los valores que anulan al denominador son:
(x - 3)2 = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
Dom(f) = R - {3}
2) Como k = - 4 < 0 : Im(f) = (-∞, 0)
3) Corta al eje de ordenadas en el punto :
k = - 4 , a = 3 ⇒ (0 , -4/9)
4) Es discontinua en el punto : x = 3
5) Como k = - 4 < 0 : está acotada superiormente por y = 0 .
6) Como a ≠ 0 : no tiene simetría par ni impar.
7) Como k < 0 :
La función es estrictamente decreciente en (-∞ , 3).
La función es estrictamente creciente en (3 , ∞).
8) No tiene periodicidad.
9) No tiene extremos relativos.
5. Representa la siguiente función racional: y = - 3 / (x - 2)3
La función es una traslación horizontal hacía la derecha en dos unidades de la función f(x) = - 3 / x3
Es decir: y = f(x - 2) = - 3 / (x - 2)3
1) Tipo de función: es una función racional .
2) Dominio: como es una función racional, Dom(f) = R - {2}
3) Recorrido o imagen: Im(f) = (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞)
4) Continuidad: es discontinua en x = 2 .
5) Corte con los ejes:
• y = 0 ⇒ La función corta el eje Y en el punto (0, 3/8) , ya que f(0) = 3/8
• x = 0 ⇒ La función no corta el eje X .
6) Monotonía:
Como k = - 3 < 0 la función es creciente en: (- ∞, 2) ∪ (2, + ∞)
7) Asíntotas:
La función tiene una asíntota horizontal en y = 0 .
La función tiene una asíntota vertical en x = 2 .
(valor donde se anula el denominador y no se anula el numerador)
La función es una traslación horizontal hacía la derecha en dos unidades de la función f(x) = - 3 / x3
Es decir: y = f(x - 2) = - 3 / (x - 2)3
1) Tipo de función: es una función racional .
2) Dominio: como es una función racional, Dom(f) = R - {2}
3) Recorrido o imagen: Im(f) = (- ∞, 0) ∪ (0, + ∞)
4) Continuidad: es discontinua en x = 2 .
5) Corte con los ejes:
• y = 0 ⇒ La función corta el eje Y en el punto (0, 3/8) , ya que f(0) = 3/8
• x = 0 ⇒ La función no corta el eje X .
6) Monotonía:
Como k = - 3 < 0 la función es creciente en: (- ∞, 2) ∪ (2, + ∞)
7) Asíntotas:
La función tiene una asíntota horizontal en y = 0 .
La función tiene una asíntota vertical en x = 2 .
(valor donde se anula el denominador y no se anula el numerador)
4.10 FUNCIONES EXPONENCIALES
Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente x en el exponente, es decir, son de la forma:
Las características generales de las funciones exponenciales son:
1) El dominio de una función exponencial es R.
2) Su recorrido es (0, +∞) .
3) Son funciones continuas.
4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son siempre concavas.
8) El eje X es una asíntota horizontal.
Si a > 1 :
Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto :
Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0
Si 0 < a < 1 :
Ocurre lo contrario que en el caso anterior :
Cuando x → + ∞ , encontes a x → 0
EJEMPLOS
1. Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
f(x) = 2x g(x) = 2 - x = (1/2)x
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = Dom(g) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .
Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
g(0) = - 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .
5) Concavidad y convexidad:
Las funciones f(x) y g(x) son concavas.
6) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje X.
7) Tabla de valores:
2. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
f(x) = ex
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .
Im(f) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = e0 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
La función f(x) no corta al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que e > 1 .
5) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es concava.
6) Asíntotas:
Las función f(x) tiene una asintota en el eje X.
7) Tabla de valores:
3. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
y = 2 + 3x
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
2) Recorrido:
Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = 3x, cuyo recorrido es (0 , ∞).
Por tanto su recorrido queda trasladado verticalmente en dos unidades: (2, + ∞) .
3) Puntos de corte:
y = 2 + 30 = 2 + 1 = 3 , el punto de corte con el eje Y es (0, 3).
La función no corta al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función es creciente ya que a = 3 > 1 ( y = ax ).
5) Concavidad y convexidad:
Es cóncava por ser una función exponencial.
6) Asíntotas:
Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = 3x, cuya asíntota está en el eje X.
Por tanto la asíntota de nuestra función queda trasaladada verticalmente a la recta y = 2 .
7) Tabla de valores:
4. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
El dominio de las funciones exponenciales es R.
2) Recorrido:
Esta función es una traslación vertical de la función exponencial f(x) = (1/5)x, cuyo recorrido viene dado por (0 ,∞).
Por tanto, el recorrido de nuestra función queda trasladado verticalmente -3 unidades: (-3, + ∞) .
3) Puntos de corte:
Punto de corte con el eje Y:
Punto de corte con el eje X:
Aplicamos logaritmo en ambos miembros de la igualdad
5. Dada la siguiente función, estudia sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
1) y = 3x - 2
Esta función es una traslación horizontal hacia la derecha de la función exponencial g(x) = 3x, es decir, nuestra función es:
f(x) = 3x - 2 = g(x - 2)
Punto de corte con el eje Y:
y = 30 - 2 = 3-2 = 1/9 ⇒ (0 , 1/9)
No corta al eje X.
La función g tiene su asíntota en el eje X.
Como nuestra función es una traslación horizontal de g (no vertical), su asíntota será la misma que la de g.
Por tanto, nuestra función tiene una asíntota en el eje X.
Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:
Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax
Las características generales de las funciones logarítmicas son:
1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0. + ∞) .
2) Su recorrido es R: Im(f) = R .
3) Son funciones continuas.
4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1, 0) .
La función corta el eje X en el punto (1, 0) y no corta el eje Y.
5) Como logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto (a, 1) .
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son convexas si a > 1 .
Son concavas si 0 < a < 1 .
8) El eje Y es una asíntota vertical.
Si a > 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → - ∞
Si 0 < a < 1 :
Cuando x → 0 + , entonces log a x → + ∞
EJEMPLOS
1. Dada la siguiente funcion, estudia sus características.
1) Dominio:
El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) .
Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones logarítmicas es R.
Im(f) = Im(g) = R .
3) Puntos de corte:
f(1) = log21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
g(1) = log1/21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje Y.
3) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .
4) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es convexa ya que a > 1 .
Las función g(x) es concava ya que 0 < a < 1 .
5) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje Y.
2. Dadas las siguientes funciones, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
f(x) = log2x g(x) = log1/2x
1) Dominio:
El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) .
Dom(f) = Dom(g) = (0, + ∞) .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones logarítmicas es R.
Im(f) = Im(g) = R .
3) Puntos de corte:
f(1) = log21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
g(1) = log1/21 = 0 , el punto de corte con el eje X es (1, 0).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje Y.
3) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1 .
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1 .
4) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es convexa ya que a > 1 .
Las función g(x) es concava ya que 0 < a < 1 .
5) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje Y.
6) Tabla de valores:
3. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
f(x) = ln x
La función logarítmo neperiano es la inversa de y = ex .
Su gráfica es simétrica de y = ex respecto a y = x .
y = ex
x = ey
Por definición: y = ln x
4. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
y = 2 + log2 (x - 3)
1) Dominio:
Esta función es una traslación de la función logarítmica g(x) = log2x.
Por un lado, está traslada verticalmente en 2 unidades, y por otro, está trasladada horizontalmente hacia la derecha en 3 unidades. Es decir, nuestra función es:
f(x) = 2 + log2 (x - 3) = 2 + g(x - 3)
El dominio de g es (0 , ∞) , por tanto, el dominio de nuestra función es: (3 , ∞)
2) Recorrido:
Su recorrido viene dado por todos los números reales: R
3) Puntos de corte:
No corta al eje Y, ya que x = 0 no está en el dominio de la función: 0 ∉ (3 , ∞).
Punto de corte con el eje X:
0 = 2 + log2 (0 - 3) = 2 + log2 3 ⇒ ( 2 + log2 3 , 0)
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función es creciente ya que a = 2 > 1 ( y = loga x) .
5) Concavidad y convexidad:
La función es convexa ya que a = 2 > 1 ( y = loga x) .
6) Asíntotas:
La función g(x) = log2 x tiene una asíntota en el eje Y.
Como nuestra función está trasladada horizontalmente hacia la derecha en 3 unidades con respecto a la función g , su asíntota también queda trasladada de la misma forma.
Por tanto, nuestra función tiene una asíntota vertical en x = 3 .
7) Tabla de valores:
5. Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas. Representa su gráfica.
y = - 3 + log1/2 (x + 2)
Esta función es una traslación de la función logarítmica g(x) = log1/2x.
Por un lado, está traslada verticalmente en -3 unidades, y por otro, está trasladada horizontalmente hacia la izquierda en 2 unidades. Es decir, nuestra función es:
f(x) = - 3 + log1/2 (x + 2) = - 3 + g(x + 2)
Punto de corte con el eje Y:
y = - 3 + log1/2 (0 + 2) = - 3 + log1/2 2 = - 3 + (-1) = - 4 ⇒ (0 , - 4)
Punto de corte con el eje X:
La función g tiene su asíntota en el eje Y.
Como nuestra función está trasladada horizontalmente hacia la izquierda en 2 unidades con respecto a la función g , su asíntota estará trasladada de la misma forma.
Por tanto, nuestra función tiene una asíntota vertical en x = -2 .
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