TRIGONOMETRÍA
5.1 ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS
Ángulo en el plano
Dos semirrectas, r y s , con un origen común O divide el plano en dos regiones, cada una de las cuales determina un ángulo. De esta forma, O es el vértice de los ángulos α y β
Clasificación de ángulo
| Terminología | Definición | Ejemplos |
|---|---|---|
| Ángulo completo α | α = 360o | 360o |
| Ángulo llano α | α = 180o | 180o |
| Ángulo recto α | α = 90o | 90o |
| Ángulo agudo α | 0o < α < 90o | 15o , 37o , 85o |
| Ángulo obtuso α | 90o < α < 180o | 105o , 99o , 145o |
| Ángulos complementarios α , β | α + β = 90o | 30o y 60o , 15o y 75o |
| Ángulo suplementarios α , β | α + β = 180o | 110o y 70o , 15o y 165o |
MEDIDAS DE ÁNGULOS
Sistema sexagesimal
Un grado ( o ) es la medida del ángulo que resulta de dividir un ángulo completo en 360 partes iguales.
10 = 60 ' y 1' = 60''
Paso de unas unidades a otras del sistema sexagesimal:
Forma compleja y forma incompleja
Una medida angular, en el sistema sexagesimal, puede venir expresada en una única unidad (llamada forma incompleja) o en varias (llamada forma compleja).
Ejemplo de conversión de forma compleja a incompleja y viceversa:
Paso de grados decimales a grados sexagesimales
Para pasar de forma compleja a forma incompleja resulta más fácil hacerlo en un solo paso:
Un grado ( g ) es la medida del ángulo que resulta de dividir un ángulo completo en 400 partes iguales.
1g = 100m y 1m = 100s
Paso de unas unidades a otras del sistema centesimal:
Un radian (rad) es el ángulo determinado por un arco de circunferencia cuya longitud coincide con el radio.
De esta forma podemos calcular cuanto serían 2 radianes, 3 radianes y 2π radianes:
La longitud de un arco de circunferencia es igual a la medida del ángulo central, α en radianes, multiplicada por el radio:
EJEMPLOS
1. Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
2. Calcular la reducción al primer giro de los siguientes ángulos:
3. Expresar en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:
4. Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
5. Expresa las siguientes medidas de ángulos en grados o radianes, según proceda:
5.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. 
Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda).
|
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo.
Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Empezaremos a ver cada una de las Funciones:
1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:
4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:
5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:
6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:
EJEMPLOS
Calcule los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ:
1.
Sen θ = 4/5
Cos θ = 3/5
Tan θ = 4/3
Cot θ = 3/4
Sec θ = 5/3
Csc θ = 5/4
2.
sen 30° = 4/x
sen 30° = 1/2
4/x = 1/2
x = 8
cos 30° = y / x
cos 30° = .86
y / x = y / 8 = .86
y = 6.9
3.
sen 45 ° = 7/x
sen 45° = .70
7/x = .7
x = 9.9
cos 45° = y/x
cos 45° = .7
y/x = y/9.9 = .7
y= 7
Calcule los valores de las funciones trigonométricas del ángulo θ
4. sen θ = 3/5
b = 3
c = 5
a = 4
Sen θ = 3/5
Cos θ = 4/5
Tan θ = 3/4
Cot θ = 4/3
Sec θ = 5/4
Csc θ = 5/3
5. tan θ = 5/2
b = 5
a = 12
c = 13
Sen θ = 5/13
Cos θ = 12/13
Tan θ = 5/12
Cot θ = 12/5
Sec θ = 13/12
Csc θ = 13/5
5.3 GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Algunas de las propiedades de una gráfica de las funciones trigonométricas son: dominio, máximo, asíntotas, periodo, alcance, etc.
Las funciones trigonométricas son: y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x), en donde lo que está en el paréntesis es el dominio y “y” es el alcance.
Las funciones trigonométricas son: y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x), en donde lo que está en el paréntesis es el dominio y “y” es el alcance.
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = sen(x)
El ciclo de la función seno comienza en 0 y termina en 2π.
Dominio: el conjunto de números reales
Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.
Cruza el eje de “y” en (0,0)
El eje de referencia es: eje “x”.
El punto máximo es: (π/2,1)
El punto mínimo es: (3π/2,-1)
Su período: 2π.
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = cos(x)
El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π.
Dominio: el conjunto de números reales.
Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.
Cruza el eje de “y” en: (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es: (0,1) y (2π,1)
El punto mínimo es: (π,-1)
Su período: 2π
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = tan(x)
El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2.
Tiene asíntotas en el ciclo.
Dominio: toda x diferente a (π/2)±nπ
Alcance: el conjunto de todos los números reales.
Cruza el eje de “y” en (0,0)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es:
El punto mínimo es:
Su período: π
Asíntotas: x=±π/2
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = cot(x)
El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π.
Tiene asíntotas en el ciclo.
Dominio: toda x diferente a ±nπ
Alcance: el conjunto de todos los números reales.
No cruza el eje de “y”
El eje de referencia es: el eje “x”.
Su período: π
asíntotas: x=±nπ
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = sec(x)
El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2.
Tiene tres asíntotas verticales.
Dominio: el conjunto de números reales excepto los múltiplos impares de π/2
Alcance: el conjunto de todos los números reales menores menores o iguales que –1 y todos los números mayores o iguales que 1
Cruza el eje de “y” en (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es: (π,-1)
El punto mínimo es: (0, 1)
Su período: 2π
Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = csc(x)
El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π.
Tiene tres asíntotas.
Dominio: el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2
Alcance: el conjunto de todos los números menores o iguales que -1 y todos los números mayores o iguales que1
Cruza el eje de “y” en (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es: (π,-1)
El punto mínimo es: (0, 1)
Su período: 2π
Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2
EJEMPLOS
1. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = sen (5x)
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.
Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:
1 = sen (5x) ⇒ 5x = π/2 ⇒ x = π/10 ⇒ (π/10 , 1)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:
-1 = sen (5x) ⇒ 5x = 3π/2 ⇒ x = 3π/10 ⇒ (3π/10 , -1)
2. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = 2 cos(x)
3. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = cotg(2x)
El ciclo de la función seno comienza en 0 y termina en 2π.
Dominio: el conjunto de números reales
Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.
Cruza el eje de “y” en (0,0)
El eje de referencia es: eje “x”.
El punto máximo es: (π/2,1)
El punto mínimo es: (3π/2,-1)
Su período: 2π.
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = cos(x)
Dominio: el conjunto de números reales.
Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.
Cruza el eje de “y” en: (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es: (0,1) y (2π,1)
El punto mínimo es: (π,-1)
Su período: 2π
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = tan(x)
Tiene asíntotas en el ciclo.
Dominio: toda x diferente a (π/2)±nπ
Alcance: el conjunto de todos los números reales.
Cruza el eje de “y” en (0,0)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es:
El punto mínimo es:
Su período: π
Asíntotas: x=±π/2
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = cot(x)
Tiene asíntotas en el ciclo.
Dominio: toda x diferente a ±nπ
Alcance: el conjunto de todos los números reales.
No cruza el eje de “y”
El eje de referencia es: el eje “x”.
Su período: π
asíntotas: x=±nπ
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = sec(x)
El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2.
Tiene tres asíntotas verticales.
Dominio: el conjunto de números reales excepto los múltiplos impares de π/2
Alcance: el conjunto de todos los números reales menores menores o iguales que –1 y todos los números mayores o iguales que 1
Cruza el eje de “y” en (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es: (π,-1)
El punto mínimo es: (0, 1)
Su período: 2π
Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2
CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE y = csc(x)
Tiene tres asíntotas.
Dominio: el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2
Alcance: el conjunto de todos los números menores o iguales que -1 y todos los números mayores o iguales que1
Cruza el eje de “y” en (0,1)
El eje de referencia es: el eje “x”
El punto máximo es: (π,-1)
El punto mínimo es: (0, 1)
Su período: 2π
Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2
EJEMPLOS
1. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = sen (5x)
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.
Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:
1 = sen (5x) ⇒ 5x = π/2 ⇒ x = π/10 ⇒ (π/10 , 1)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:
-1 = sen (5x) ⇒ 5x = 3π/2 ⇒ x = 3π/10 ⇒ (3π/10 , -1)
2. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = 2 cos(x)
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.
Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:
2 = 2 cos(x) ⇒ 1 = cos(x) ⇒ x = 0 ó x = 2π ⇒ (0 , 2) , (2π , 2)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:
-2 = 2 cos(x) ⇒ -1 = cos(x) ⇒ x = π ⇒ (π , -2)
y = cotg(2x)
La función cotangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto, f(x) = cotg(2x) tampoco los tiene.
4. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = tg(x/4)
La función tangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto, f(x) = tg(x/4) tampoco los tiene.
5. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = 3 + 2cos(x/2)
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.
Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:
5 = 3 + 2 cos(x/2) ⇒ 1 = cos(x/2) ⇒ x/2 = 0 ó x/2 = 2π
⇒ x = 0 ó x = 4π ⇒ (0 , 5) , (4π , 5)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:
1 = 3 + 2 cos(x/2) ⇒ -1 = cos(x/2) ⇒ x/2 = π ⇒ x = 2π ⇒ (2π , 1)
5.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente).
Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.
Arcoseno
El arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:
Su abreviatura es arcsen o sen-1.
Dominio (x):
Codominio (α):
Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función seno no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [-π/2,π/2] para que la función seno sea biyectiva.
La función es continua y creciente en todo el dominio.
Derivada de la función arcoseno:
Arcocoseno
El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:
Su abreviatura es arccos o cos-1.
Codominio (α):
Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función coseno no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [0,π] para que la función coseno sea biyectiva.
La función es continua y decreciente en todo el dominio.
Derivada de la función arcocoseno:
Arcotangente
La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:
Su abreviatura es arctan o tan-1.
Dominio (x):
Codominio (α):
Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función tangente no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [-π/2,π/2] para que la función tangente sea biyectiva.
La función es continua y creciente en todo el dominio.
Derivada de la función arcotangente:
y = tg(x/4)
La función tangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto, f(x) = tg(x/4) tampoco los tiene.
5. Dada la siguiente función. Representa su gráfica.
y = 3 + 2cos(x/2)
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.
Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:
5 = 3 + 2 cos(x/2) ⇒ 1 = cos(x/2) ⇒ x/2 = 0 ó x/2 = 2π
⇒ x = 0 ó x = 4π ⇒ (0 , 5) , (4π , 5)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:
1 = 3 + 2 cos(x/2) ⇒ -1 = cos(x/2) ⇒ x/2 = π ⇒ x = 2π ⇒ (2π , 1)
5.4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Las funciones trigonométricas inversas son las funciones inversas de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente).
Las razones trigonométricas no son funciones biyectivas (1-a-1), por lo que no son invertibles. Para que lo sean, es necesario restringir su dominio y así poder hallar la función inversa.
Arcoseno
El arcoseno es la función inversa del seno. Es decir:
Al ser el arcoseno y el seno funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:
Dominio (x):
Codominio (α):
Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función seno no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [-π/2,π/2] para que la función seno sea biyectiva.
La función es continua y creciente en todo el dominio.
Derivada de la función arcoseno:
Arcocoseno
El arcocoseno es la función inversa del coseno. Es decir:
Dominio (x):
Codominio (α):
Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función coseno no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [0,π] para que la función coseno sea biyectiva.
La función es continua y decreciente en todo el dominio.
Derivada de la función arcocoseno:
Arcotangente
La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:
Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:
Su abreviatura es arctan o tan-1.
Dominio (x):
Codominio (α):
Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función tangente no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [-π/2,π/2] para que la función tangente sea biyectiva.
La función es continua y creciente en todo el dominio.
Derivada de la función arcotangente:
EJEMPLOS
Calcula la derivada de la funciones trigonométricas:
1. Resolver
2. Resolver
3. Resolver
4. Resolver
5. Resolver
5.5 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.
Las identidades pitagóricas son producto de la aplicación del Teorema de Pitágoras con las razones en Trigonometría:
cos² α + sen² α = 1
sec² α = 1 + tg² α
cosec² α = 1 + cotg² α
Las identidades recíprocas se obtienen al llevar a cabo el producto entre dos razones recíprocas, por ejemplo seno y cosecante:
sen α= 1/csc α
cos α= 1/sec α
tan α= 1/ cotg α
csc α= 1/sen α
sec α= 1/cos α
cotg α= 1/tan α
Las identidades cocientes se llaman así pues cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos razones trigonométricas:
tan u= sen u/ cos u
cotg u= sen u/ cos u
EJEMPLOS
Comprobar las identidades:
1.
2.
3.
4.
5.
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