GEOMETRÍA PLANA
7.1 FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO
En esta unidad estudiamos las figuras geométricas en el plano más importantes: triángulo, cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo, y trapecio desde el punto de vista del área. Todas tienen dos dimensiones, se puede decir que "viven en el plano", no así una caja de cerillas (ortoedro) que tiene tres y "vive en el espacio de tres dimensiones". Los polígonos son también figuras planas, puedes estudiarlos en la unidad Medidas de Polígonos.
ÁREA DEL CUADRADO
La fórmula del área del cuadrado es
ÁREA= lado·lado=l2
Nos da las unidades cuadradas, es decir los cuadrados de lado 1, que caben dentro de nuestro cuadrado ABCD. La siguiente ventana te ayudará a comprobar esta fórmula. Con el botón puedes cambiar la longitud del lado.
ÁREA DEL RECTÁNGULO
La fórmula del área del rectángulo es
ÁREA= lado·lado=a·b
Nos da las unidades cuadradas del rectángulo ABCD, como puedes ver en la siguiente ventana. Ahora con los botones puedes cambiar las longitudes de los dos lados.
Si dejas fijo el lado a, por ejemplo con el valor 3 verás que los valores del área al ir cambiando b son los de la tabla de multiplicar del 3, ¿puedes explicar por qué? ¡El área del rectángulo era la interpretación geométrica que los griegos usaban para la multiplicación!
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
La fórmula del área del paralelogramo es
ÁREA= base·altura=b·h
Para demostrar esta fórmula vamos ver que el paralelogramo ABCD tiene la misma área que la de un rectángulo que tiene lados b y h. Como ya conocemos la fórmula del área del rectángulo podremos concluir que el área del paralelogramo es b·h. En la siguiente ventana se describen los pasos de la demostración. Intenta entender todos los pasos hasta que seas capaz de hacerla tú mismo con lápiz y papel.
ÁREA DEL TRIANGULO
Con ayuda de las siguientes ventanas vamos a deducir la fórmula para calcular el área del triángulo:
Nos ayudaremos de una técnica que usamos mucho en esta unidad : obtener una fórmula (que no conocemos) a partir de la fórmula de otra figura que ya conocemos. En este caso, obtendremos la fórmula del triángulo a partir de la del paralelogramo. Recuerda, que a su vez dedujimos la del paralelogramo a partir de la del rectángulo.
Antes de considerar el caso más general, en la siguiente ventana se muestra como obtener la fórmula del área de un triángulo a partir de la de un rectángulo. En la figura puedes comprobar que dividimos el triángulo ABC en dos triángulos mediante la altura h, si pulsas el botón "mostrar" podrás comprobar que a cada triángulo le corresponde otro triángulo más oscuro de igual tamaño. Vemos que el área del rectángulo es por lo tanto dos veces el área del triángulo, como conocemos la fórmula para el rectángulo basta dividirla por dos.
La construcción anterior, aunque sencilla, presenta una limitación: cuando el punto B, al trazar la altura, se proyecte fuera del lado AC, no se puede hacer, compruébalo tú mismo. En el caso general de un triángulo cualquiera, vamos deducir la fórmula del área paso a paso, relacionando el triángulo con un paralelogramo como puedes ver en esta ventana.
En la siguiente ventana arrastra el punto B verás que se van formando nuevos triángulos. Prueba a arrastrar ahora el punto A ¿qué tienen en común todos estos triángulos? ¿tienen la misma base? ¿tienen la misma altura? por lo tanto, a partir de la fórmula anterior ¿podemos deducir que todos tienen el mismo área?
Al pulsar el botón ejercicio debes de poder contestar a la pregunta que aparece, para ello desplaza el triángulo original arrastrando los puntos como convenga.
¿Se puede decir también que todos los triángulos que formamos al arrastrar B sobre la recta tienen el mismo perímetro?
ÁREA DEL ROMBO
El rombo es un caso especial de paralelogramo en que los cuatro lados son iguales. Si conociésemos la base y la altura podríamos usar la fórmula para el área de un paralelogramo. Es más frecuente, sin embargo, expresar el área del rombo en función de sus diagonales. La fórmula del área del rombo en función de las diagonales es:
En la figura puedes ver que hemos llamado a y b a las diagonales, también hemos construido un rectángulo alrededor de nuestro rombo; vamos a deducir la fórmula del área del rombo a partir de la del rectángulo. Si pulsas el botón verás que aparecen cuatro triángulos verdes que son iguales a los cuatro triángulos que forman el rombo, por lo tanto tenemos que el área del rombo es la mitad de la del rectángulo.
En la siguiente ventana se propone una construcción distinta de la anterior para obtener la fórmula del área del rombo, haz todos los pasos que te indique la ventana e intenta luego explicar por qué es también una demostración de la fórmula. Para entender el paso 3 de la construcción te puede ayudar el revisar en la página del área del triángulo la ventana en la que construimos distintos triángulos con el misma área.
ÁREA DEL TRAPECIO
La fórmula del área del trapecio es
Para demostrar esta fórmula veremos que el trapecio ABCD se puede descomponer en dos triángulos y a partir de las fórmulas para el área del triángulo deduciremos la que buscamos. En la siguiente ventana se describen los pasos de la demostración. Intenta entender todos los pasos hasta que seas capaz de hacerla tú mismo con lápiz y papel. Puedes mover los vértices del trapecio para ver más ejemplos.
EJEMPLOS
1. ¿Cuáles serían las coordenadas del punto medio si el exagonal se mueve dos unidades a la derecha?
(2, 1)
2. Nombra las coordenadas del punto "b" y "c", si el triangulo (como se presenta en la imagen) se mueve tres unidades a la izquierda y dos hacia arriba.
b(-1, 4) c (1, 4)
3. Si ambas rectas son del mismo tamaño, ¿cuál sería la coordenada en el extremo izquierdo del la recta "p"?
(-1, -3)
4. Si el punto "n" gira noventa grados en el sentido de las manecillas del reloj y el punto "m" se mantiene en su lugar, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto "n"?
(0, -5)
5. Si el circulo se moviera tres unidades a la izquierda, ¿cuál sería su punto medio?
(-3, 0)
7.2 CLASES DE RECTAS EN EL PLANO
Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados, sin ningún tramo curvo, que no tiene ni principio ni fin.
Cualquier recta viene determinada por 2 puntos, ya que por 2 puntos tan sólo puede pasa una recta.
La recta tan sólo tiene una dimensión (largo), mientras que el plano tiene 2 (largo y ancho).
Las rectas pueden ser:
Paralelas: son 2 rectas que están en el mismo plano y por mucho que se prolonguen hacia el infinito nunca se cortan.
Secantes: son 2 rectas que están en el mismo plano y que se cortan, o bien aunque no se corten si se prolongan terminarían cortándose.
Perpendiculares: son 2 rectas que están en el mismo plano y que se cortan formando cuatro ángulos rectos.
Rectas que se cruzan: son 2 rectas que están en planos distintos.
EJEMPLOS
1. Obtener la ecuación de la recta que, siendo paralela la recta dada por x = 3λ, y = λ, z = 2λ + 2, contiene al punto P(0, 1, −1)..
2. Una recta es paralela a los planos x + y = 0, x + z = 0 y pasa por por el punto (2, 0, 0). Hallar sus ecuaciones.
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (8, 2, 3) y lleva la dirección del vector
4. Dados los puntos A(2, 6, −3) y B(3, 3, −2), hallar los puntos de la recta AB que tienen al menos una coordenada nula.
5. Hallar una ecuación continua de la recta que es paralela a los planos: x − 3y + z = 0 y 2x − y + 3z − 5 = 0, y pasa por el punto (2, −1, 5).
El vector director de la recta es perpendicular a los vectores normales de cada plano.
7.3 ÁNGULOS
Los ángulos miden la cantidad de giro
Nombres de los ángulos
Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando
| Tipos de ángulos | Descripción | |
|---|---|---|
| Ángulo agudo | un ángulo de menos de 90° | |
| Ángulo recto | un ángulo de 90° | |
| Ángulo obtuso | un ángulo de más de 90° pero menos de 180° | |
| Ángulo llano | un ángulo de 180° | |
| Ángulo reflejo o cóncavo | un ángulo de más de 180° |
Partes de un ángulo
La esquina de un ángulo se llama vértice
Y los lados rectos son rayos
El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.
Marcar ángulos
Hay dos maneras comunes de marcar un ángulo:
1. dándole nombre, normalmente una letra minúscula como a o b, o a veces una letra griega como α (alfa) o θ (theta)
2. o con las tres letras que definen el ángulo, poniendo en medio la letra donde se encuentra (su vértice).
Ejemplo: el ángulo "a" es "BAC", y el ángulo "θ" es "BCD"
7.4 POLIGONALES Y POLÍGONOS
Línea poligonal: una línea poligonal está formada por varios segmentos consecutivos.
Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas.
Polígono: es la región de plano limitada por una línea poligonal cerrada.
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO
Lado: es cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal que limita al polígono.
Vértice: son los puntos donde se cortan los lados.
Ángulo: la región de plano comprendida entre dos lados al cortarse en un punto
llamado vértice.
Diagonal: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Cualquier polígono tiene el mismo número de lados, de ángulos y de vértices.
Perímetro: perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. O lo que es lo mismo, la medida de la línea poligonal cerrada que lo comprende.
CLASES DE POLÍGONOS.
Los polígonos se clasifican por su número de lados en:
EJEMPLOS
1. Calcula la medida del ángulo B de las siguientes figuras.
a) BEl ángulo adyacente al de 70º es suplementario luego su valor es de
180º - 70º = 110º.
Como los ángulos de un triángulo suman 180º, entonces el valor de B es
B = 180º - 110º - 35º = 35º
b) Los ángulos adyacentes, y por tanto suplementarios, de los ángulos 145º y 135º son, respectivamente 35º y 45º.
Como los ángulos de un triángulo tienen que sumar 180º tenemos que :
B = 180º - 35º - 45º = 100º
2. Calcula la medida del ángulo B de las siguientes figuras :
a) Los ángulos adyacentes ( suplementarios ) de los ángulos 155º y 145º son, respectivamente, 25º y 35º.
Los ángulos de un triángulo suman 180º por lo que el valor de B es : B = 180º - 35º - 25º = 120º
b) El ángulo adyacente a 72º es 108º.
La suma de los ángulos del triángulo ha de ser 180º. El valor de B es : B = 180º - 35º - 108º = 37º
3. Calcula la medida del ángulo B en las siguientes figuras :
a) El valor del ángulo adyacente o suplementario de 128º es 52º.
El ángulo opuesto a 47º, por ser agudo y paralelo a él vale 47º.
Por último, la suma de los ángulos del triángulo que forma la mitad del cuadrilátero ha de sumar 180º por lo que el valor de B es : B = 180º - 47º - 52º = 81º
b) El ángulo opuesto a 126º también vale 126º, ya que ambos son obstusos y con lados paralelos.
La suma de los ángulos del triángulo formado por el semicuadrilatero tiene que ser 180º, de modo que B vale : B = 180º - 126º - 24º = 30º
4. Calcula las medidas de los ángulo A, B y C de las siguientes figuras :
a) El ángulo B se corresponde con el ángulo central del triángulo. Su valor es :
El ángulo A se corresponde con el ángulo interior del triángulo : A = 180º - B → A = 180º - 120º = 60º
El ángulo C se corresponde con el ángulo exterior del triángulo : C = 360º - A → C = 360º - 60º = 300º
b) El ángulo B se corresponde con el ángulo central del cuadrado. Su valor es :
El ángulo A se corresponde con el ángulo interior del cuadrado : A = 180º - B → A = 180º - 90º = 90º
El ángulo C se corresponde con el ángulo exterior del cuadrado : C = 360º - A → C = 360º - 90º = 270º
5. Calcula los ángulos del siguiente polígono irregular.
La suma de los ángulos internos de un polígono es : 180º · ( n - 2 ). Luego tenemos que :
2A + 2A + 3A + 105º + 125º + 90º = 180º · ( 6 - 2 )
7A + 320º = 720º
7A = 400º
A = 57,14º
Los ángulos pedidos son 114,28º ; 114,28º ; 171,42º
7.5 TRIÁNGULOS
Los triángulos son los polígonos de 3 lados. Por tanto tienen 3 ángulos y tres vértices.
Por sus lados.
Triángulo equilátero : tiene los tres lados y los tres ángulos iguales.
Triángulo isósceles: tiene dos lados y dos ángulos iguales.
Triángulo escaleno: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.
Por sus ángulos.
Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos.
Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto.
Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Triángulos rectángulos.
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90º. Sus lados reciben nombres especiales:
El lado opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa.
Los dos lados que forman el ángulo recto se denominan catetos.
Además, en todos los triángulos rectángulos se cumple que:
La hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos.
Los ángulos agudos son complementarios ya que:
EJEMPLOS
1. En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 5m y un cateto b = 4 m. Calcula el lado desconocido.
2. En un triángulo rectángulo se conocen los catetos b =8m y c =6 m. Calcula el lado desconocido.
3. En un triángulo rectángulo se conocen los catetos a = 20 cm y c = 7 cm. Calcula el lado desconocido.
4. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
5. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m
7.6 CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados y cuatro ángulos.
Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.
Los paralelogramos son los cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos.
Existen cuatro tipos de paralelogramos:
Cuadrado: Cuatro lados y cuatro ángulos iguales.
Rombo: Cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos.
Rectángulo: Lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos iguales.
Romboide: Lados y ángulos iguales dos a dos.
Los trapecios sólo tienen dos lados paralelos, Tres tipos de trapecios:
Trapecio rectángulo: Dos ángulos rectos.
Trapecio isósceles: Lados no paralelos iguales y ángulos iguales dos a dos.
Trapecio escaleno: Cuatro lados y cuatro ángulos desiguales.
Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo.
EJEMPLOS
1. La suma de los lados de un cuadrado es de 32 cm. ¿ Cuánto mide su diagonal ? (Aproximar el resultado hasta las centésimas).
2. Calcular el perimetro de un rectángulo cuya diagonal mide 11,6 cm y unos de los lados 8 cm.
3. Calcula la diagonal del ortoedro cuyas aristas miden 9 cm, 6 cm y 5 cm.
4. Se va a perforar un túnel por el que circulará un vagón de 3m de ancho y 2m de alto. ¿Qué diámetro mínimo tendrá la sección del túnel?.
5. En un círculo de 40 cm de diametro trazamos una cuerda que dista del centro una distancia de 6 cm. Hallar el área del cuadrilatero que se forma al juntar los extremos de la cuerda con los del diametro paralelos a ella.
7.7 PERÍMETRO Y ÁREA DE UN POLÍGONO
El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y su área es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.
EJEMPLOS
1. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del cuadrado:
P = 4 · 5 = 20 cm
A = 52 = 25 cm2
2. Hallar la diagonal, el perímetro y el área del rectángulo:
P = 2 · ( 10 + 6) = 32 cm
A = 10 · 6 = 60 cm2
3. Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
P = 8 + 6 + 10 + 6.32 = 30.32 cm
4. Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:
P = 2 · 5 + 4 + 10 = 24 cm
5. Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero:
7.8 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
Centro de la circunferencia: Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.
Elementos de la circunferencia
Cuerda
Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro
Cuerda que pasa por el centro.
Arco
Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.
Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.
CÍRCULO
Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia.
Segmento circular
Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Semicírculo
Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.
Zona circular
Porción de círculo limitada por dos cuerdas.
Sector circular
Porción de círculo limitada por dos radios.
Corona circular
Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.
Trapecio circular
Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.
EJEMPLOS
1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
r = 90 : 100 = 0.9 m
L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m
5.65 · 100 = 565 m
2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente?
1 milla = 1 852 m
3. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.
4. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
5. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.
7.9 POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
Elementos de un polígono.
Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos.
Lados: son los segmentos que limitan la superficie.
Vértices: son los puntos de unión de los segmentos.
Ángulos:
Interiores: son las regiones, dentro de l a línea poligonal, creadas por dos lados consecutivos.
Exteriores: son las regiones, fuera de la línea poligonal, limitadas por dos lados consecutivos.
Diagonales:Son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Clasificación de los polígonos según sus ángulos.
Diremos que un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º.
Diremos que un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores es mayor de 180º.
Clasificación de polígonos según sus lados y águlos.
Diremos que un polígono es regular si tiene todos sus lados y sus ángulos iguales.
Diremos que un polígono es irregular si tiene algún lado o ángulo distinto.
La circunferencia.
Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia de otro punto interior llamado centro.
Elementos de la circunferencia.
Centro (O)
Punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia. Elementos de la circunferencia.
Radio (r)
Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
Cuerda (AB)
Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro (d)
Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Arco (AB)
Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ésta. Un diametro divide la circunferencia en dos arcos.
EJEMPLOS
1. Hallar el área comprendida entre las circunferencias circunscrita e inscrita a un triángulo equilátero de 18√3 cm de perímetro.
2. Calcula el lado y la apotema de un cuadrado circunscrito en una circunferencia de 3 cm de radio.
3. Calcula el lado y la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.
4. Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras.
5. Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras.
7.10 FIGURAS CIRCULARES
Las partes de un círculo se denominan figuras circulares:
Sector circular: Es aquella parte del círculo delimitada por dos radios y el arco que delimitan.
Segmento circular: Es aquella parte del círculo delimitada por una cuerda y el arco que delimita.
Corona circular: es la parte del círculo delimitado entre una circunferencia y una circunferencia interior concéntrica.
Trapecio circular: es la parte de la corona circular delimitada por 2 radios.
EJEMPLOS
1. Se va a perforar un túnel por el que circulará un vagón de 3m de ancho y 2m de alto. ¿Qué diámetro mínimo tendrá la sección del túnel?.
2. En un círculo de 40 cm de diametro trazamos una cuerda que dista del centro una distancia de 6 cm. Hallar el área del cuadrilatero que se forma al juntar los extremos de la cuerda con los del diametro paralelos a ella.
3. Dibujar dos circunferencias secantes de radio 15 cm y 27 cm. Traza una tangente común y llamar P y Q a los puntos de tangencia.
Calcula el perímetro y el área del cuadrilatero OO'PQ sabiendo que la distancia entre los centros OO' es 40 cm
4. Hallar la medida en radianes de un ángulo central contenido por un arco de 35 cm en una circunferencia de radio 5 cm.
5. Determina el área de un sector circular que abarca un ángulo de 120º y tiene un radio de 3 cm.
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